《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题（2022·新高考全国Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到下表数据：

(1) 能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2) 从该地的人群中任选一人，$ A $表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，$ B $表示事件“选到的人患有该疾病”.$\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}$与$\frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 $ R $.
(ⅰ) 证明：$ R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} · \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} $；
(ⅱ) 利用该调查数据，给出 $ P(A|B) $，$ P(A|\overline{B}) $的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出 $ R $的估计值.
附：$ K^{2} = \frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} $，$ n = a + b + c + d $.

答案： （1）解：由已知得$K^2=\frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}=$
$\frac{200 × (40 × 90 - 60 × 10)^2}{50 × 150 × 100 × 100} = 24 ＞ 6.635$，又$P(K^2 \geq 6.635)=0.01$，所以有
$99\%$的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）（ⅰ）证明：因为$R = \frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)} · \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$，
$\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}=\frac{\frac{P(AB)}{P(A)}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(A)}}=\frac{P(AB)}{P(A\overline{B})}$，$\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}=\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})}$，
又因为$\frac{P(AB)}{P(A\overline{B})}=\frac{\frac{P(AB)}{P(B)}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}·\frac{P(B)}{P(\overline{B})}=\frac{P(A|B)}{P(A|\overline{B})}·\frac{P(B)}{P(\overline{B})}$，
$\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})}=\frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}=\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$，
所以$R = \frac{P(A|B)}{P(A|\overline{B})} · \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} · \frac{P(B)}{P(\overline{B})} · \frac{P(\overline{B})}{P(B)}=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} · \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$.
（ⅱ）解：由题中表格知$P(A|B)=\frac{40}{100}$，$P(A|\overline{B})=\frac{10}{100}$，$P(\overline{A}|B)=\frac{60}{100}$，$P(\overline{A}|\overline{B})=\frac{90}{100}$，所以$R = \frac{\frac{40}{100}}{\frac{60}{100}} · \frac{\frac{90}{100}}{\frac{10}{100}} = \frac{40}{60} × 9 = 6$.