《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 1. (2025·全国一卷) 如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，$ PA \perp $ 底面 $ ABCD $，$ AB \perp AD $，$ BC // AD $。
(1) 证明：平面 $ PAB \perp $ 平面 $ PAD $；
(2) 设 $ PA = AB = \sqrt{2} $，$ BC = 2 $，$ AD = 1 + \sqrt{3} $，且点 $ P $，$ B $，$ C $，$ D $ 均在球 $ O $ 的球面上。
(ⅰ) 证明：点 $ O $ 在平面 $ ABCD $ 内；
(ⅱ) 求直线 $ AC $ 与 $ PO $ 所成角的余弦值。

答案：

(1)证明：在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$平面$ABCD$，$AB\perp AD$，$AB\subset$平面$ABCD$，$AD\subset$平面$ABCD$，$\therefore AP\perp AB$，$AP\perp AD$。$\because AP\subset$平面$PAD$，$AD\subset$平面$PAD$，$AP\cap AD = A$，$\therefore AB\perp$平面$PAD$。$\because AB\subset$平面$PAB$，$\therefore$平面$PAB\perp$平面$PAD$。
(2)(i)证明：在四棱锥$P - ABCD$中，$AP\perp AB$，$AP\perp AD$，$AB\perp AD$，$BC// AD$，$PA = AB = \sqrt{2}$，$BC = 2$，$AD = 1 + \sqrt{3}$，由此建立空间直角坐标系如图①所示，
　　　　　　
$\therefore A(0,0,0)$，$B(\sqrt{2},0,0)$，$C(\sqrt{2},2,0)$，$D(0,1 + \sqrt{3},0)$，$P(0,0,\sqrt{2})$，若$P$，$B$，$C$，$D$在同一个球面上，则$|OP| = |OB| = |OC| = |OD|$。在平面$xAy$中，如图②，
　　　　　　　　
$\therefore A(0,0)$，$B(\sqrt{2},0)$，$C(\sqrt{2},2)$，$D(0,1 + \sqrt{3})$，$\therefore$线段$CD$的中点为$F(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3} + 3}{2})$，直线$CD$的斜率$k_1 = \frac{1 + \sqrt{3} - 2}{0 - \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$，$\therefore$直线$CD$的垂直平分线$EF$的斜率$k_2 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$，$\therefore$直线$EF$的方程为$y - \frac{\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2})$，即$y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$，当$y = 1$时，$1 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}(x_0 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$，解得$x_0 = 0$，$\therefore O(0,1)$。在空间直角坐标系中，$O(0,1,0)$，$\therefore|OP| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (0 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$，$|OB| = \sqrt{(0 - \sqrt{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3}$，$\therefore|OC| = \sqrt{(0 - \sqrt{2})^2 + (1 - 2)^2 + 0^2} = \sqrt{3}$，$|OD| = \sqrt{0^2 + (1 - 1 - \sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$，$|OB| = |OC| = |OD|$，$\therefore$点$O$在平面$ABCD$内。
(ⅱ)解：由题意及图得，$\overrightarrow{AC} = (\sqrt{2},2,0)$，$\overrightarrow{PO} = (0,1,-\sqrt{2})$，设直线$AC$与直线$PO$所成角为$\theta$，$\therefore\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{PO}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PO}|} = \frac{|0 + 2×1 + 0|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2 + 0^2}×\sqrt{0 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$。