《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题1. (浙江高考)
如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(B)

A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线

答案： 典型例题1.B解析:本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。因为三角形面积为定值，所以以AB为底，则底边长一定，从而可得点P到直线AB的距离为定值。分析可得，点P的轨迹在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得动点P的轨迹为椭圆。

变式训练1. (2025·四川成都月考)
已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A₁C，则点P的轨迹长度为(D)

A.2
B.2√2
C.4
D.3√2

答案：
变式训练1.D解析:由题意可知,动点P的轨迹为过点B与直线A₁C 垂直的截面与正方体的表面的交线。如图所示:
　　　　　　　　
在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,BD⊥AC,BD⊥AA₁,又AC,AA₁⊂平面AA₁C,且AC∩AA₁=A,所以BD⊥平面AA₁C。因为A₁C⊂平面AA₁C,所以BD⊥A₁C。又在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,BC₁⊥B₁C,BC₁⊥B₁A₁,又B₁C,B₁A₁⊂平面B₁CA₁且B₁C∩B₁A₁=B₁,所以BC₁⊥平面B₁CA₁。因为A₁C⊂平面B₁CA₁,所以BC₁⊥A₁C。又因为BD⊥A₁C,BC₁⊥A₁C,由BD,BC₁⊂平面BDC₁且BD∩BC₁=B,所以A₁C⊥平面BDC₁。于是点P的轨迹长度为不包含点B的△BDC₁的周长，即△BDC₁周长等于3×$\sqrt{1² + 1²}$ = 3√2。

变式训练2. (2025·江西上饶模拟)
已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在正方体内(包含表面)运动，若$\overrightarrow{CM}·\overrightarrow{AC_{1}} = -\frac{3}{2}$，则动点M的轨迹所形成区域的面积是(B)

A.$\frac{\sqrt{3}}{16}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{8}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
变式训练2.B解析:如图,在棱长为1的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,
$\overrightarrow{CM}·\overrightarrow{AC₁}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM})·\overrightarrow{AC₁}=\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{AC₁}+\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{AC₁}=-2+\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{AC₁}=-\frac{3}{2}$，则$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{AC₁}=\frac{1}{2}$，而$\vert\overrightarrow{AC₁}\vert=\sqrt{3}$，由数量积的几何意义知，$\overrightarrow{AM}$在$\overrightarrow{AC₁}$上的投影数量为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，因此点M在与$AC₁$垂直的平面内，且点A到该平面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$。在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中易证$AC₁\perp$平面$A₁BD$，点A到平面$A₁BD$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，取AB,AD,$AA₁$的中点E,F,G，易得平面EFG//平面$A₁BD$，则$AC₁\perp$平面EFG，且点A到平面EFG的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，所以点M的轨迹所形成区域为等边△EFG，面积为$S_{\triangle EFG}=\frac{\sqrt{3}}{4}EF^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{8}$。