《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 1. (2022·新高考全国Ⅱ)
有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(B)

A.12 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种

答案： 典型例题1.B 解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看成一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！排列方式；为使甲不在两端，只需甲在这三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有3！×2×2=24（种）不同的排列方式.故选B.

变式训练 1. (2025·河南郑州模拟)
中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一次,讲座次序要求“礼”不排在第一也不排在最后,且“射”和“御”相邻,则不同的次序共有(D)

A.288 种
B.196 种
C.96 种
D.144 种

答案： 变式训练1.D 解析：依题意，“礼”不排在第一也不排在最后，且“射”和“御”相邻的不同次序数为$A_{3}^{1}A_{2}^{2}A_{2}^{2}=144$.

变式训练 2. (2025·湖南长沙月考)
提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,有公共边的两个区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法共有(D)


A.288 种
B.296 种
C.362 种
D.384 种

答案： 变式训练2.D 解析：首先4,5,6三个区域有$A_{3}^{3}$种涂法，当2号区域和6号区域同色时，有$A_{3}^{2}×2×3=144$（种）涂法；当2号区域与4号区域同色时，有$A_{3}^{2}×2×3=144$（种）涂法；当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有$A_{3}^{2}×2×2=96$（种）涂法.综上，共有384种涂法.故选D.