《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题(全国高考)已知函数$f(x)=e^{x}+ax^{2}-x$。
(1)当$a=1$时，讨论$f(x)$的单调性；
(2)当$x≥0$时，$f(x)≥\frac{1}{2}x^{3}+1$，求$a$的取值范围。

答案：
(1) 当 $a = 1$ 时, $f(x) = e^x + x^2 - x$, $f'(x) = e^x + 2x - 1$. 令 $M(x) = e^x + 2x - 1$, 则 $M'(x) = e^x + 2 ＞ 0$, 故 $f'(x)$ 单调递增, 注意到 $f'(0) = 0$, 故当 $x \in (-\infty, 0)$ 时, $f'(x) ＜ 0$, $f(x)$ 单调递减, 当 $x \in (0, +\infty)$ 时, $f'(x) ＞ 0$, $f(x)$ 单调递增.
(2) 由 $f(x) \geqslant \frac{1}{2}x^3 + 1$, 得 $e^x + ax^2 - x \geqslant \frac{1}{2}x^3 + 1$, 其中 $x \geqslant 0$.
① 当 $x = 0$ 时, 不等式为 $1 \geqslant 1$, 显然成立, 符合题意;
② 当 $x ＞ 0$ 时, 分离参数 $a$, 得 $a \geqslant - \frac{e^x - \frac{1}{2}x^3 - x - 1}{x^2}$, 记 $g(x) = \frac{e^x - \frac{1}{2}x^3 - x - 1}{x^2}$, 则 $g'(x) = - \frac{(x - 2)(e^x - \frac{1}{2}x^2 - x - 1)}{x^3}$. 令 $h(x) = e^x - \frac{1}{2}x^2 - x - 1 (x ＞ 0)$, 则 $h'(x) = e^x - x - 1$, $h''(x) = e^x - 1 ＞ 0$, 故 $h'(x)$ 单调递增, $h'(x) ＞ h'(0) = 0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) ＞ h(0) = 0$. 由 $h(x) ＞ 0$ 可得 $e^x - \frac{1}{2}x^2 - x - 1 ＞ 0$ 恒成立, 故当 $x \in (0, 2)$ 时, $g'(x) ＞ 0$, $g(x)$ 单调递增; 当 $x \in (2, +\infty)$ 时, $g'(x) ＜ 0$, $g(x)$ 单调递减, 因此, $g(x)_{max} = g(2) = \frac{7 - e^2}{4}$.
综上可得, 实数 $a$ 的取值范围是 $\left[ \frac{7 - e^2}{4}, +\infty \right)$.