《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题
(2025·天津)双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$,以右焦点$F_2$为焦点的抛物线$y^2=2px(p＞0)$与双曲线交于第一象限的点$P$,若$|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|$,则双曲线的离心率$e=$ (A)

A.$2$
B.$5$
C.$\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

答案：
典型例题A　解析:根据题意可设F₂($\frac{p}{2}$,0)，双曲线的半焦距为c，P(x₀,y₀)，则p = 2c。
如图，过F₁作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF₁为抛物线的准线，则|PA| = |PF₂|。
由双曲线的定义及已知条件可知$\begin{cases} |PF₁| - |PF₂| = 2a \\ |PF₁| + |PF₂| = 6c \end{cases}$，
则$\begin{cases} |PF₁| = 3c + a \\ |PF₂| = 3c - a = |PA| \end{cases}$。
由勾股定理可知|AF₁|² = y₀² = |PF₁|² - |PA|² = 12ac，易知y₀² = 4cx₀，
∴x₀ = 3a，即$\frac{x₀²}{a²} - \frac{y₀²}{b²} = \frac{9a²}{a²} - \frac{12ac}{b²} = 1$，整理得2c² - 3ac - 2a² = 0，即(2c + a)·(c - 2a) = 0，
∴c = 2a，即离心率为2。

变式训练1.
(2025·河北邯郸一模)已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别是$F_1,F_2$,过点$F_2$的直线$l$与双曲线$C$的右支交于$A,B$两点,若$|AF_1|+|BF_1|=3|F_1F_2|$,则双曲线$C$的离心率的取值范围是 (B)

A.$(1,3+\sqrt{6}]$
B.$\left(1,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right]$
C.$\left[\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5}\right]$
D.$\left[\dfrac{3+\sqrt{6}}{2},3+\sqrt{6}\right]$

答案： 变式训练1.B　解析:由已知，设|AF₁| ≥ |BF₁|，则|AF₁| - |AF₂| = 2a，|BF₁| - |BF₂| = 2a，两式相加得|AF₁| + |BF₁| - (|AF₂| + |BF₂|) = 4a。
又|AF₁| + |BF₂| = |AB|，所以|AF₁| + |BF₁| - |AB| = 4a。
又|AF₁| + |BF₁| = 3|F₁F₂| = 6c，所以|AB| = 6c - 4a。
当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB| = $\frac{2b²}{a}$，所以$\frac{2b²}{a}$ ≤ 6c - 4a。又b² = c² - a²，则$\frac{2(c² - a²)}{a}$ ≤ 6c - 4a，整理得2c² - 6ac + 2a² ≤ 0。
又e = $\frac{c}{a}$，两边同时除以a²得2e² - 6e + 2 ≤ 0，解得$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ ≤ e ≤ $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$。又双曲线的离心率e ＞ 1，所以双曲线的离心率取值范围是(1,$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$]。