《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 (2025·四川宜宾模拟)
已知椭圆 $ C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 的离心率为 $ \dfrac{1}{2} $，长轴的左端点为 $ A(-2,0) $。
(1) 求 $ C $ 的方程；
(2) 过椭圆 $ C $ 的右焦点的任一直线 $ l $ 与椭圆 $ C $ 分别相交于 $ M $，$ N $ 两点，且 $ AM $，$ AN $ 与直线 $ x = 4 $ 分别相交于 $ D $，$ E $ 两点，求证：以 $ DE $ 为直径的圆恒过 $ x $ 轴上定点，并求出定点。

答案：
(1)解：由题可得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$a=2$，所以$c=1$.又因为$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$，所以$b=\sqrt{3}$，所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)证明：椭圆右焦点坐标为$(1,0)$，由条件知直线$l$的斜率不为零，设直线$l$的方程为$x=my + 1$，
设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，由题意可知，联立$\begin{cases}x=my + 1,\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1.\end{cases}$消去$x$得$(3m^{2}+4)y^{2}+6my - 9=0$，所以$y_1+y_2=\frac{-6m}{3m^{2}+4}$，$y_1y_2=\frac{-9}{3m^{2}+4}$
直线$AM:y=\frac{y_1}{x_1 + 2}(x + 2)$，得$D(4,\frac{6y_1}{x_1 + 2})$，同理，直线$AN:y=\frac{y_2}{x_2 + 2}(x + 2)$，得$E(4,\frac{6y_2}{x_2 + 2})$，设$x$轴上一点$P(t,0)$，则$\overrightarrow{PD}=(4 - t,\frac{6y_1}{x_1 + 2})$，同理得$\overrightarrow{PE}=(4 - t,\frac{6y_2}{x_2 + 2})$，所以$\overrightarrow{PD}·\overrightarrow{PE}=(4 - t)^{2}+\frac{36y_1y_2}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}$
$=(4 - t)^{2}+\frac{36y_1y_2}{(my_1 + 3)(my_2 + 3)}=(4 - t)^{2}+\frac{36y_1y_2}{m^{2}y_1y_2+3m(y_1 + y_2)+9}=(4 - t)^{2}+\frac{36×(-9)}{-9m^{2}-18m^{2}+27m^{2}+36}=(4 - t)^{2}-9=0$，解得$t = 1$或$t = 7$，所以以$DE$为直径的圆恒过$x$轴上定点，定点分别为$(1,0)$，$(7,0)$.