《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 1. (2023·全国乙文)已知点 $ S,A,B,C $ 均在半径为 2 的球面上，$\triangle ABC$ 是边长为 3 的等边三角形，$ SA \perp $ 平面 $ ABC $，则 $ SA = $2.

答案：
典型例题1.2 解析：如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SMN-ABC，设△ABC的外接圆圆心为O₁，半径为r，则2r=AB/sin∠ACB=3/(√3/2)=2√3，可得r=√3，设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA，OO₁，O₁A，则OA=2，OO₁=1/2 SA，O₁A=√3。因为OA²=OO₁²+O₁A²，即4=1/4 SA²+3，解得SA=2。

变式训练 1. (2025·山东青岛期中)在三棱锥 $ P - ABC $ 中，$ PA = PB = PC = \sqrt{3} $，$ PA $，$ PB $，$ PC $ 两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为(B)

A.$\frac{3\pi}{2}$
B.$\frac{9\pi}{2}$
C.$\frac{15\pi}{2}$
D.$ 9\pi $

答案：
变式训练1.B 解析：由于PA=PB=PC，PA,PB,PC两两垂直，将该三棱锥放入正方体中，如图：

故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径R=√(PA²+PB²+PC²)/2=(√3/2)PA=3/2，所以外接球的体积V=4π/3 R³=4π/3×(3/2)³=9π/2。

变式训练 2. (2025·海南海口月考)在边长为 2 的正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 的中点，将 $\triangle AED$，$\triangle BEF$，$\triangle DCF$ 分别沿 $ DE $，$ EF $，$ DF $ 折起，使 $ A $，$ B $，$ C $ 三点重合于点 $ A' $，则三棱锥 $ A' - EFD $ 外接球的表面积为(D)

A.$ 24\pi $
B.$ 18\pi $
C.$ 12\pi $
D.$ 6\pi $

答案：
变式训练2.D 解析：如图，显然，A'E,A'F,A'D两两垂直，其中A'E=1，A'F=1，A'D=2，

故三棱锥A'-EFD的外接球就是分别以A'E,A'F,A'D为长、宽、高的长方体的外接球，故外接球半径为1/2 √(A'E²+A'F²+A'D²)=√6/2，故三棱锥A'-EFD的外接球的表面积为4π×(√6/2)²=6π。

变式训练 3. (2025·江苏南京月考)已知四面体 $ ABCD $ 中，$ AB = CD = 2\sqrt{5} $，$ AC = BD = \sqrt{29} $，$ AD = BC = \sqrt{41} $，则四面体 $ ABCD $ 外接球的体积为(C)

A.$ 45\pi $
B.$\frac{15\sqrt{5}\pi}{2}$
C.$\frac{45\sqrt{5}\pi}{2}$
D.$ 24\sqrt{5}\pi $

答案：
变式训练3.C 解析：设四面体ABCD的外接球的半径为R，则四面体ABCD在一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体中，如图，

则a²+b²=29，b²+c²=41，a²+c²=20，故R=√(a²+b²+c²)/2=√45/2，故四面体ABCD外接球的体积V=4/3 π R³=4/3 π×45√45/8=45√5 π/2。