《2025年学霸高考黑题数学人教版》

变式训练4. (多选)(2025·湖南怀化模拟)已知函数$f(x)$的定义域是$\mathbf{R}$，$f(1) = 2$，且满足$f(5 + \frac{x}{2}) = f(-5 - x)$，$f(x - 3) = f(5 - 2x)$，作$f(x)$的图象关于$y$轴的对称图象，并右移一个单位长度，再将横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$得到函数$g(x)$的图象，下列说法正确的有 (ABD)

A.$g(x) = f(1 - 2x)$
B.$g(x)$与$f(x)$有相同的值域
C.$f(x)$的最小正周期是$6$
D.$g(1012) = 2$

答案： 变式训练4.ABD 解析：由图象的变换知A选项正确；
因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B选项正确；
由$f(5 + \frac{x}{2}) = f(-5 - x)$，得$f(5 + x) = f(-5 - 2x)$ ①，在$f(x - 3) = f(5 - 2x)$中用$x + 5$代替$x$得$f(x + 2) = f(-5 - 2x)$ ②，由①②得$f(5 + x) = f(x + 2)$，即$f(x + 3) = f(x)$，所以3是$f(x)$的最小正周期，C选项错误；
由$g(x) = f(1 - 2x)$知$g(x)$的周期$T = \frac{3}{2}$，则$g(1012) = g(\frac{2024}{2}) = g(674 × \frac{3}{2} + 1) = g(1) = f(1 - 1) = f(1) = 2$，在$f(x - 3) = f(5 - 2x)$中令$x = 2$得$f(-1) = f(1) = 2$，所以$g(1012) = 2$，D选项正确。

变式训练5. (2025·福建三明模拟)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x) = f(2 - x)$，且$f(1) = -1$，当$x\in(1,2)$时，$f(x) = \log_2(x - 1) + x$，则方程$f(x)[f(x) + \frac{1}{x}] = 0$在区间$[-2,4]$上的根的个数为 (C)

A.$9$
B.$10$
C.$17$
D.$12$

答案：
变式训练5.C 解析：因为$f(x)$是定义在R上的奇函数，所以$f(-x) = -f(x)$，由$f(x) = f(2 - x)$可知，函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，则有$f(-x) = -f(x) = -f(2 - x)$，则$f(x) = -f(2 + x)$，则$f(2 + x) = -f(4 + x)$，
所以$f(x) = f(4 + x)$，故$f(x)$是周期函数，周期$T = 4$。
又因为$f(1) = -1$，所以$f(-1) = -f(1) = 1$，且有$f(0) = f(2) = 0$，则$f(-2) = f(2) = 0,f(4) = f(0) = 0$。当$x \in (1,2)$时，$f(x) = \log_2(x - 1) + x$是增函数，且$x \to 1$时，$f(x) \to -\infty$，$x \to 2$时，$f(x) \to 2$，所以$f(x)$在$(1,2)$上有且仅有一个零点。函数$f(x)$与函数$y = -\frac{1}{x}$的图象如图，

由图可知，方程$f(x) = 0$在区间$[-2,4]$上有10个根，去除$x = 0$后，还有9个根，方程$f(x) + \frac{1}{x} = 0$的根，即函数$f(x)$的图象与函数$y = -\frac{1}{x}$图象的交点，有8个，所以方程$f(x)[f(x) + \frac{1}{x}] = 0$在区间$[-2,4]$上的根的个数为$9 + 8 = 17$。

变式训练6. (2025·山东烟台、德州二模)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x - y) - f(x + y) = f(x - 1)f(y)$，且$f(-1) = -2$，则$f(2025) =$ (D)

A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 变式训练6.D 解析：令$x = 1,y = 0$，则$f(1 - 0) - f(1 + 0) = f(1 - 1)f(0)$，可得$f(0) = 0$，
令$x = 0,y = 1$，则$f(0 - 1) - f(0 + 1) = f(0 - 1)f(1)$，可得$f(1) = 2$，
令$y = 1$，则$f(x - 1) - f(x + 1) = f(x - 1)f(1) = 2f(x - 1)$，可得$f(x + 1) + f(x - 1) = 0$，
所以$f(x)$是以4为周期的周期函数，则$f(2025) = f(4 × 506 + 1) = f(1) = 2$。

变式训练7. (多选)(2025·陕西榆林二模)对于$x\in[0,1]$，$f(x)$满足$f(x) + f(1 - x) = 1$，$f(x) = 2f(\frac{x}{5})$，且对于任意$0\leq x_1\leq x_2\leq 1$，恒有$f(x_1)\leq f(x_2)$，则 (ACD)

A.$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$
B.$\sum_{i = 0}^{100} f(\frac{i}{100}) = 101$
C.$f(\frac{1}{5^8}) = \frac{1}{2^8}$
D.$\frac{1}{8}\leq f(\frac{1}{100})\leq \frac{1}{4}$

答案： 变式训练7.ACD 解析：A选项，因为$f(x) + f(1 - x) = 1$，所以取$x = \frac{1}{2}$，得$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$，A选项正确；
B选项，令$t = f(0) + f(\frac{1}{100}) + ·s + f(1)$，则$t = f(1) + f(\frac{99}{100}) + ·s + f(0)$，两式相加得$2t = [f(0) + f(1)] + [f(\frac{1}{100}) + f(\frac{99}{100})] + ·s + [f(1) + f(0)] = 101$，解得$t = \frac{101}{2}$，B选项错误；
C选项，因为$f(x) = 2f(\frac{x}{5})$，所以取$x = 0$，得$f(0) = 0$，由$f(x) + f(1 - x) = 1$，取$x = 0$，得$f(0) + f(1) = 1$，解得$f(1) = 1$，因为$f(x) = 2f(\frac{x}{5})$，所以$f(\frac{x}{5}) = \frac{1}{2}f(x),f(\frac{1}{5}) = \frac{1}{2},f(\frac{1}{5^2}) = \frac{1}{2^2},·s,f(\frac{1}{5^8}) = \frac{1}{2^8}$，C选项正确；
D选项，因为$f(\frac{1}{25}) = \frac{1}{4},f(\frac{1}{125}) = \frac{1}{8}$，且$\frac{1}{125} ＜ \frac{1}{100} ＜ \frac{1}{25}$，所以$f(\frac{1}{125}) \leq f(\frac{1}{100}) \leq f(\frac{1}{25})$，即$\frac{1}{8} \leq f(\frac{1}{100}) \leq \frac{1}{4}$，D选项正确。

变式训练8. 若函数$y = f(x)$满足$f(2 - x) + f(x) = 2$，$f(4 - x) + f(x) = 4$，设$f(x)$的导函数为$f'(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x) = x^2$，则$\sum_{k = 1}^{10}[f(k) + f'(k + \frac{1}{2})] =$ (A)

A.$65$
B.$70$
C.$75$
D.$80$

答案：
变式训练8.A 解析：由$f(2 - x) + f(x) = 2,f(4 - x) + f(x) = 4$，知函数图象关于点$(1,1),(2,2)$对称，结合当$x \in [0,1]$时，$f(x) = x^2$，作出函数图象如图，

$f(x)$为向上攀爬的类周期函数，由图象可得$f(k) = k,k \in Z$，由$f(2 - x) + f(x) = 2$可得$[f(2 - x) + f(x)]' = 0$，$-f'(2 - x) + f'(x) = 0$，由$f(4 - x) + f(x) = 4$可得$[f(4 - x) + f(x)]' = 0$，$-f'(4 - x) + f'(x) = 0$，所以$f'(4 - x) = f'(x)$，则有$f'(x + 2) = f'(x)$。因为$f'(\frac{1}{2}) = 1$，所以$f'(k + \frac{1}{2}) = f'(\frac{1}{2}) = 1$，所以$\sum_{k = 1}^{10}[f(k) + f'(k + \frac{1}{2})] = (1 + 2 + ·s + 10) + 10 = 65$。

变式训练9. (2024·广东华南师大附中模拟)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x + 1) = 3f(x)$，当$x\in(-1,0]$时，$f(x) = \frac{|2x + 1| - 1}{3}$.若$\forall x\in(-\infty,t]$，$f(x)\geq -18$，则$t$的取值范围是 (D)

A.$[\frac{10}{3},+\infty)$
B.$[\frac{10}{3},\frac{11}{3}]$
C.$(-1,\frac{10}{3}]$
D.$(-\infty,\frac{10}{3}]$

答案： 变式训练9.D 解析：由题意可知，当$x \in (-1,0]$时，$f(x) = \begin{cases} \frac{|2x + 1| - 1}{3},x \in [-\frac{1}{2},0] \\ \frac{-2x - 2}{3},x \in (-1,-\frac{1}{2}) \end{cases}$，可知$f(x)$在$(-1,-\frac{1}{2})$上单调递减，在$(-\frac{1}{2},0]$上单调递增，$f(x) \leq 0$且$f(x)$的最小值为$-\frac{1}{3}$；当$x \in (0,1]$时，$x - 1 \in (-1,0],f(x) = 3f(x - 1) = |2x - 1| - 1 \geq -1$；当$x \in (1,2]$时，$x - 2 \in (-1,0],f(x) = 3^2f(x - 2) = 3|2x - 3| - 3 \geq -3$；当$x \in (2,3]$时，$x - 3 \in (-1,0],f(x) = 3^3f(x - 3) = 27|2x - 7| - 27 \geq -27$。令$27|2x - 7| - 27 = -18$，解得$x = \frac{10}{3}$或$x = \frac{11}{3}$。因为$\forall x \in (-\infty,t],f(x) \geq -18$，所以$t ＜ \frac{10}{3}$。

变式训练10. (江苏高考)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上且周期为$3$的函数，当$x\in[0,3)$时，$f(x) = |x^2 - 2x + \frac{1}{2}|$，若函数$y = f(x) - a$在区间$[-3,4]$上有$10$个零点(互不相同)，则实数$a$的取值范围为$(0,\frac{1}{2})$.

答案：
变式训练10.$(0,\frac{1}{2})$ 解析：作出函数$f(x) = |x^2 - 2x + \frac{1}{2}|$在$[0,3)$上的图象，如图，可见$f(0) = \frac{1}{2}$，当$x = 1$时，$f(x)$极大值$= \frac{1}{2}$，$f(3) = \frac{7}{2}$，方程$f(x) - a = 0$在$x \in [-3,4]$上有10个零点，即函数$y = f(x)$的图象与直线$y = a$在$[-3,4]$上有10个交点，由于函数$f(x)$的周期为3，因此直线$y = a$与函数$f(x) = |x^2 - 2x + \frac{1}{2}|$的图象在$x \in [0,3)$上应该有4个交点，则有$a \in (0,\frac{1}{2})$。