《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题2. (天津高考)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
(1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2) 若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
① 用 $ X $ 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 $ X $ 的分布列与数学期望；
② 设 $ A $ 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 $ A $ 发生的概率.

答案：
(1)由题意可知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为$3:2:2$，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人.
(2)①随机变量$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$，$P(X=k)=\frac{C_4^k· C_3^{3-k}}{C_7^3}(k=0,1,2,3)$，所以随机变量$X$的分布列如下表：
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{35}$ $\frac{12}{35}$ $\frac{18}{35}$ $\frac{4}{35}$
随机变量$X$的数学期望$E(X)=0×\frac{1}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{4}{35}=\frac{12}{7}$
②设事件$B$为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件$C$为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则$A=B\cup C$，且$B$与$C$互斥，由①知，$P(B)=P(X=2)$，$P(C)=P(X=1)$，故$P(A)=P(B\cup C)=P(X=2)+P(X=1)=\frac{6}{7}$，所以事件$A$发生的概率为$\frac{6}{7}$.

变式训练2. (2025·湖南永州期末)
某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物 $ P $ 拥有两个亚种（分别记为 $ A $ 种和 $ B $ 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物 $ P $，统计其中 $ A $ 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第 $ i $ 次试验中 $ A $ 种的数目为随机变量 $ X_i (i = 1, 2, ·s, 20) $.设该区域中 $ A $ 种的数目为 $ M $，$ B $ 种的数目为 $ N $（$ M $，$ N $ 均大于100），每一次试验均相互独立.
(1) 求 $ X_1 $ 的分布列.
(2) 记随机变量 $ \overline{X} = \dfrac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} X_i $.已知 $ E(X_i + X_j) = E(X_i) + E(X_j) $，$ D(X_i + X_j) = D(X_i) + D(X_j) $.
(ⅰ) 证明：$ E(\overline{X}) = E(X_1) $，$ D(\overline{X}) = \dfrac{1}{20} D(X_1) $；
(ⅱ) 该小组完成所有试验后，得到 $ X_i $ 的实际取值分别为 $ x_i (i = 1, 2, ·s, 20) $.数据 $ x_i (i = 1, 2, ·s, 20) $ 的平均值 $ \overline{x} = 30 $，方差 $ s^2 = 1 $.采用 $ \overline{x} $ 和 $ s^2 $ 分别代替 $ E(\overline{X}) $ 和 $ D(\overline{X}) $，给出 $ M $，$ N $ 的估计值.（已知随机变量 $ x $ 服从超几何分布记为 $ x \sim H(P, n, Q) $（其中 $ P $ 为总数，$ Q $ 为某类元素的个数，$ n $ 为抽取的个数），则 $ D(x) = n \dfrac{Q}{P} \left( 1 - \dfrac{Q}{P} \right) \left( \dfrac{P - n}{P - 1} \right) $）

答案：
(1)依题意，$X_i(i = 1,2,·s,20)$均服从完全相同的超几何分布，且$M,N$均大于100，故$X_1$的分布列为$P(X_1 = k)=\frac{C_M^kC_{100 - k}^{N}}{C_{100 + N}^{100}}(k\in N,0\leq k\leq100)$。
$X_1$ 0 1 $·s$ 99 100
$P$ $\frac{C_M^0C_{100}^{N}}{C_{100 + N}^{100}}$ $\frac{C_M^1C_{99}^{N}}{C_{100 + N}^{100}}$ $·s$ $\frac{C_M^{99}C_{1}^{N}}{C_{100 + N}^{100}}$ $\frac{C_M^{100}C_{0}^{N}}{C_{100 + N}^{100}}$
(2)(i)证明：$X_i(i = 1,2,·s,20)$均服从完全相同的超几何分布，故$E(X_2)=E(X_1)$，$E(\bar{X})=E(\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}X_i)=\frac{1}{20}E(\sum_{i = 1}^{20}X_i)=\frac{1}{20}×20× E(X_1)=E(X_1)$，$D(\bar{X})=D(\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}X_i)=\frac{1}{20^2}D(\sum_{i = 1}^{20}X_i)=\frac{1}{20^2}\sum_{i = 1}^{20}D(X_i)=\frac{1}{20}D(X_1)$，故$E(\bar{X}) = E(X_1)$，$D(\bar{X})=\frac{1}{20}D(X_1)$。
(ii)解：由(i)可知$\bar{X}$的均值$E(\bar{X}) = E(X_1)=\frac{100M}{M + N}$。利用公式计算$X_1$的方差，$D(X_1)=\frac{(M + N)^2(M + N - 1)}{(M + N)^2(M + N - 1)}-\frac{[100M]^2}{(M + N)^2}$，依题意有$\frac{5MN(M + N - 100)}{(M + N)^2(M + N - 1)} = 1$，
解得$M = 624$，$N = 1456$。所以可以估计$M = 624$，$N = 1456$。