《2025年学霸高考黑题数学人教版》

变式训练$1.(2025·$河北沧州模拟$)$已知函数$f(x)=1-2\ln(x+a)$在点$(0,f(0))$处的切线斜率为$-2$.
$(1)$求$f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程；
$(2)$若$g(x)=x^{2}+x+1$，求证：$xf(x)＜g(x)$.

答案：
(1)解：因为f(x)=1-2ln(x+a)，则x＞-a，$f'(x)=\frac{-2}{x+a}，$又f(x)在点(0,f
(0))处的切线斜率为-2，则$f'(0)=\frac{-2}{a}=-2，$解得a=1，所以f(x)=1-2ln(x+1)，则f
(0)=1，故f(x)在(0,f
(0))处的切线方程为y=-2x+1.
(2)证明：由
(1)知f(x)=1-2ln(x+1)，则xf(x)=x-2xln(x+1)，要证xf(x)＜g(x)，即证x^{2}+x+1-[x-2xln(x+1)]＞0，即$x^{2}+1+2xln(x+1)＞0，$
设$h(x)=x^{2}+1+2xln(x+1)，$x＞-1，得$h'(x)=2x+2ln(x+1)+\frac{2x}{x+1}，$
令$t(x)=2x+2ln(x+1)+\frac{2x}{x+1}，$则$t'(x)=2+\frac{2}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^{2}}，$因为x+1＞0，
故t'(x)＞0恒成立，所以$h'(x)=2x+2ln(x+1)+\frac{2x}{x+1}$在(-1,+∞)上单调递增.
又h'
(0)=0，所以当x∈(-1,0)时，h'(x)＜0，当x∈(0,+∞)时，h'(x)＞0，则h(x)在区间(-1,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增，所以h(x)的最小值为h
(0)=1＞0，所以$x^{2}+x+1-[x-2xln(x+1)]＞0.$即xf(x)＜g(x).

变式训练$2.(2025·$江苏盐城模拟$)$已知函数$f(x)=x^{2}+\frac{a}{x},g(x)=2\ln x+\frac{1}{x^{2}}$.
$(1)$讨论函数$f(x)$的单调性；
$(2)$求函数$g(x)$的最小值；
$(3)$当$a=2$时，证明：$f(x)\ln x+\frac{1}{x^{3}}\geqslant1$.

答案：
(1)解：函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
$f'(x)=2x-\frac{a}{x^{2}}=\frac{2x^{3}-a}{x^{2}}，$
当a=0时，由f'(x)＜0得x＜0，由f'(x)＞0得x＞0，此时函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)；
当a＞0时，由f'(x)＞0得$x＞\sqrt[3]{\frac{a}{2}}，$由f'(x)＜0得x＜0或0＜x＜\sqrt[3]{\frac{a}{2}}，此时函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)，$(0,\sqrt[3]{\frac{a}{2}})，$单调递增区间为$(\sqrt[3]{\frac{a}{2}},+∞)；$
当a＜0时，由f'(x)＞0得$\sqrt[3]{\frac{a}{2}}$＜x＜0或x＞0，由f'(x)＜0得x＜\sqrt[3]{\frac{a}{2}}，此时函数f(x)的单调递减区间为$(-∞,\sqrt[3]{\frac{a}{2}})，$单调递增区间为$(\sqrt[3]{\frac{a}{2}},0)，$(0,+∞).
综上，当a=0时，函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)；
当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)，$(0,\sqrt[3]{\frac{a}{2}})，$单调递增区间为$(\sqrt[3]{\frac{a}{2}},+∞)；$
当a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为$(-∞,\sqrt[3]{\frac{a}{2}})，$单调递增区间为$(\sqrt[3]{\frac{a}{2}},0)，$(0,+∞).
(2)解：函数g(x)的定义域为(0,+∞)，$g'(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{3}}=\frac{2(x^{2}-1)}{x^{3}}$
由g'(x)＜0，得0＜x＜1，由g'(x)＞0，得x＞1，即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴g(x)在x=1处取得最小值g
(1)=1.
(3)证明：当a=2时，$f(x)ln x+\frac{1}{x^{3}}≥1$等价于$(x^{3}+2)ln x+\frac{1}{x^{2}}≥x，$即
$(x^{3}+2)ln x+\frac{x^{3}+2}{x^{2}}≥3x，$即$2ln x+\frac{1}{x^{2}}≥\frac{3x}{x^{3}+2}=\frac{3}{2}f(x)，$即$g(x)≥\frac{3}{f(x)}$
∵g(x)≥1，
∴只需证明$1≥\frac{3}{f(x)}$
∵当x＞0,a=2时，f(x)＞0，
∴只需证明f(x)≥3，
由
(1)知a=2,x＞0时f(x)在x=1处取得最小值f
(1)=3，
综上所述，原不等式成立.