《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 2. (全国高考)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n+1}=3a_{n}+1$。
(1)证明$\left\{ a_{n}+\dfrac {1}{2}\right\}$是等比数列，并求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)证明：$\dfrac {1}{a_{1}}+\dfrac {1}{a_{2}}+·s +\dfrac {1}{a_{n}} ＜ \dfrac {3}{2}$。

答案： 典型例题2.
(1)解：由$a_{n + 1} = 3a_n + 1$得$a_{n + 1} + \frac{1}{2} = 3(a_n + \frac{1}{2})$，所以$\left\{ a_{n}+\dfrac {1}{2}\right\}$是等比数列，首项为$a_1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，公比为$3$，所以$a_n + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} · 3^{n - 1}$，解得$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$。
(2)证明：由
(1)知$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$，所以$\frac{1}{a_n} = \frac{2}{3^n - 1}$。因为当$n \geq 1$时，$3^n - 1 \geq 2 · 3^{n - 1}$，所以$\frac{1}{3^n - 1} \leq \frac{1}{2 · 3^{n - 1}}$，即$\frac{1}{a_n} \leq \frac{1}{3^{n - 1}}$，所以$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ·s + \frac{1}{a_n} \leq 1 + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) ＜ \frac{3}{2}$，所以$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ·s + \frac{1}{a_n} ＜ \frac{3}{2}$。

变式训练 3. (2025·安徽淮南模拟)已知$\{ a_{n}\}$为等比数列，$\{ b_{n}\}$为正整数$n$的最大奇因数，$Q_{n}=\sum\limits _{i=1}^{b_{n}}b_{i}$，且$a_{1}=b_{1}+b_{2}$，$a_{2}=b_{6}+1$。
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)当$n\geqslant 2$时，求出$Q_{n}$与$Q_{n - 1}$之间的数量关系；
(3)求证：$\sum\limits _{i=1}^{n}\dfrac {1}{Q_{n}} ＜ 1$。

答案： 变式训练3.
(1)解：由$\{b_n\}$为正整数$n$的最大奇因数，得$b_1 = 1$，$b_2 = 1$，$b_3 = 3$，$b_4 = 1$，$b_5 = 5$，$b_6 = 3$，则$a_1 = b_1 + b_2 = 1 + 1 = 2$，$a_2 = b_6 + 1 = 3 + 1 = 4$，所以等比数列$\{a_n\}$的公比为$2$，故等比数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n$。
(2)解：由$\{b_n\}$为正整数$n$的最大奇因数，得当$n$为正奇数时，$b_n = n$；当$n$为正偶数时，$b_n = b_{\frac{n}{2}}$，$Q_n = \sum_{i = 1}^{2^n} b_i = (b_1 + b_3 + ·s + b_{2^n - 1}) + (b_2 + b_4 + ·s + b_{2^n}) = \frac{1 + (2^n - 1)}{2} · 2^{n - 1} + (b_1 + b_2 + ·s + b_{2^{n - 1}}) = \frac{(1 + 2^n - 1) · 2^{n - 1}}{2} + Q_{n - 1} = 4^{n - 1} + Q_{n - 1}$，所以当$n \geq 2$时，$Q_n = Q_{n - 1} + 4^{n - 1}$。
(3)证明：当$n = 1$时，$Q_1 = b_1 + b_2 = 2$，由
(2)知，当$n \geq 2$时，$Q_n - Q_{n - 1} = 4^{n - 1}$，$Q_1 = 2$满足上式，则$Q_n = \frac{4^n + 2}{3}$，所以$\frac{1}{Q_n} = \frac{3}{4^n + 2} ＜ \frac{3}{4^n}$，
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{Q_i} ＜ \sum_{i = 1}^{n} \frac{3}{4^i} = 3 × \frac{\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{4^n})}{1 - \frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{4^n} ＜ 1$。