《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题4.(2025·湖南长沙模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=3$,$a_{n + 1}=2a_{n}+1$,数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{1}=1$,且$\frac{b_{n + 1}}{2n + 1}=\frac{b_{n}}{2n - 1}$.
(1)求$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式;
(2)将$\{ b_{n}\}$中的项按从小到大的顺序插入$\{ a_{n}\}$中,且在任意的$a_{k}$,$a_{k + 1}$之间插入$(2k - 1)$项,从而构成一个新数列$\{ c_{n}\}$,设$\{ c_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$,求$T_{100}$.

答案：
(1)由$a_{n+1}=2a_n+1$可得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，又$a_1+1=4$，所以$\{a_n+1\}$是以$4$为首项，$2$为公比的等比数列，所以$a_n+1=4·2^{n-1}$，即$a_n=2^{n+1}-1$.由$\frac{b_{n+1}}{2n+1}=\frac{b_n}{2n-1}$可知$\{\frac{b_n}{2n-1}\}$是常数列，所以$\frac{b_n}{2n-1}=\frac{b_1}{2-1}=1$，即$b_n=2n-1$.
(2)设在$\{c_n\}$的前$100$项中，来自$\{a_n\}$的有$m$项.若第$100$项来自$\{a_n\}$，则应有$m+1+3+5+·s+(2m-3)=100$，整理可得$m^2-m-99=0$，该方程没有正整数解，不满足题意.若第$100$项来自$\{b_n\}$，则应有$m+1+3+5+·s+(2m-1)\geq100$，整理可得$m^2+m-100\geq0$.易知$y=m^2+m-100$在$m\in\mathbf{N}^*$时单调递增，当$m=9$时，$9^2+9-100=-10＜0$，不满足题意，当$m=10$时，$10^2+10-100=10＞0$，满足题意，故$m=10$，所以$\{c_n\}$的前$100$项中有$10$项来自$\{a_n\}$，有$90$来自$\{b_n\}$，所以$T_{100}=a_1+a_2+·s+a_{10}+b_1+b_2+·s+b_{90}=2^2-1+2^3-1+·s+2^{11}-1+1+1+3+5+·s+2×90-1=\frac{4×(1-2^{10})}{1-2}-10+90^2=12182$.

变式训练7.(2025·广东广州模拟)已知公差不为零的等差数列$\{ a_{n}\}$和等比数列$\{ b_{n}\}$满足$a_{1}=b_{1}=1$,且$a_{1}$,$2a_{2}$,$4a_{4}$成等比数列,$4b_{2}$,$2b_{3}$,$b_{4}$成等差数列.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式;
(2)令$c_{n}=3^{a_{n}}$,去掉数列$\{ c_{n}\}$中的第$3k$项($k\in \mathbf{N}^{*}$),余下的项顺序不变,构成新数列$\{ t_{n}\}$,写出数列$\{ t_{n}\}$的前$4$项并求$\{ t_{n}\}$的前$2n$项和$S_{2n}$.

答案：
(1)设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d(d\neq0)$，等比数列$\{b_n\}$的公比为$q$，由题意得$\begin{cases}4a_2^2=4a_1a_4,\\4b_3=4b_2+b_4.\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(a_1+d)^2=a_1(a_1+3d),\\4b_1q^2=4b_1q+b_1q^3.\end{cases}$
又$a_1=b_1=1,d\neq0$，解得$d=1,q=2$，所以$a_n=1+n-1=n,b_n=1×2^{n-1}=2^{n-1}$.
(2)由
(1)得$c_n=3^n=3^n$，去掉第$3k$项后，前$4$项依次为$3,9,81,243,S_{2n}=t_1+t_2+t_3+·s+t_{2n}=c_1+c_2+c_3+·s+c_{3n-2}+c_{3n-1}=(3^1+3^4+·s+3^{3n-2})+(3^2+3^5+·s+3^{3n-1})=\frac{3×(1-3^{3n})}{1-3^3}-\frac{3^2×(1-3^{3n})}{1-3^3}=\frac{2×3^{3n+1}-6}{13}$.综上，$S_{2n}=\frac{2×3^{3n+1}-6}{13}$.

变式训练8.(2025·四川内江模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$,$\{ b_{n}\}$的通项公式分别为$a_{n}=2n$,$b_{n}=2^{n}$,数列$\{ c_{n}\}$是由$\{ a_{n}\}$,$\{ b_{n}\}$的公共项从小到大排列构成的数列.
(1)求$c_{1}$,$c_{2}$,$c_{3}$,及$\{ c_{n}\}$的通项公式.
(2)在$c_{n}$与$c_{n + 1}$之间插入$n$个数,使这$(n + 2)$个数组成一个公差为$d_{n}$的等差数列.
①求$d_{1}$,$d_{2}$的值.
②在数列$\{ d_{n}\}$中是否存在$3$项$d_{m}$,$d_{k}$,$d_{p}$(其中$2k = m + p$)成等比数列?若存在,求出这样的$3$项;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)因为$b_n=2^n,n\in\mathbf{N}^*$，所以数列$\{b_n\}$中的每一项都能被$2$整除，所以数列$\{b_n\}$中的每一项都是数列$\{a_n\}$中的项，又数列$\{a_n\},\{b_n\}$都是递增数列，所以由$\{a_n\},\{b_n\}$的公共项从小到大排列构成的数列$\{b_n\}$，则$c_1=b_1=2,c_2=b_2=4,c_3=b_3=8,c_n=b_n=2^n,n\in\mathbf{N}^*$.
(2)由$c_n=2^n$，得$c_{n+1}=2^{n+1}$.当$n=1$时，$c_1=2,c_2=4$，由题意，在$2$和$4$之间插入$1$个数，使这$3$个数组成一个公差为$d_1$的等差数列，故$d_1=\frac{4-2}{2}=1$；当$n=2$时，$c_2=4,c_3=8$，由题意，在$4$和$8$之间插入$2$个数，使这$4$个数组成一个公差为$d_2$的等差数列，故$d_2=\frac{8-4}{3}=\frac{4}{3}$.
②不存在，理由如下：由题意$c_{n+1}=c_n+(n+2-1)d_n$，即$2^{n+1}=2^n+(n+1)d_n$，所以$d_n=\frac{2^n}{n+1}$，假设在数列$\{d_n\}$中存在三项$d_m,d_k,d_p$(其中$2k=m+p$)成等比数列，则$d_k^2=d_m· d_p$，即$(\frac{2^k}{k+1})^2=\frac{2^m}{m+1}·\frac{2^p}{p+1}$，化简得$\frac{4^k}{(k+1)^2}=\frac{2^{m+p}}{(m+1)(p+1)}=\frac{4^k}{(m+1)(p+1)}$，得$(k+1)^2=mp+2k+1$，所以$k^2=mp$，又因为$m+p=2k$，所以$(\frac{m+p}{2})^2=mp$，即$(m-p)^2=0$，所以$m=p$，即$m=p=k$，这与题设矛盾.所以在$\{d_n\}$中不存在$3$项$d_m,d_k,d_p$(其中$2k=m+p$)成等比数列.