《2025年金版新学案高中同步导学高中物理必修第一册人教版》

例 5（多选）关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）

A.自由落体运动是沿竖直方向的匀加速直线运动
B.竖直方向的位移只要满足 $ x_1 : x_2 : x_3 : \cdots = 1 : 4 : 9 : \cdots $ 的运动就是自由落体运动
C.自由落体运动在开始的连续三个 $ 2 \, s $ 内的路程之比为 $ 1 : 3 : 5 $
D.自由落体运动在开始的连续三个 $ 1 \, s $ 末的速度之比为 $ 1 : 3 : 5 $
尝试解题：

答案： AC 自由落体运动是初速度为零、加速度为$g$的竖直向下的匀加速直线运动，A正确；自由落体运动从开始下落起，前T内、前2T内、前3T内$\cdots$位移之比$x_{1}:x_{2}:x_{3}:\cdots = 1:4:9:\cdots$，但竖直方向的位移之比是$1:4:9:\cdots$的运动不一定是自由落体运动，B错误；自由落体运动遵循初速度为零的匀加速直线运动的所有规律，在开始的连续三个2s内的路程之比为$1:3:5$，在开始的连续三个1s末的速度之比为$1:2:3$，C正确，D错误。故选AC。

针对练 1.（2024·天津市高一上学期期末）
一小石子从离地高为 $ 125 \, m $ 处开始做自由落体运动并落到地面， $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $。关于小石子的下落过程，下列说法正确的是（ ）

A.做自由落体运动的时间为 $ 8 \, s $
B.落地时的速度大小为 $ 25 \, m/s $
C.在空中最后 $ 1 \, s $ 内下落的高度为 $ 45 \, m $
D.在下落过程中，第 $ 1 \, s $ 内、第 $ 2 \, s $ 内、第 $ 3 \, s $ 内的下落高度之比为 $ 1 : 4 : 9 $

答案： C 做自由落体运动的时间为$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×125}{10}}s = 5s$，故A错误；落地时的速度大小为$v = gt = 50m/s$，故B错误；小石子在前4s下降的高度为$h_{1}=\frac{1}{2}gt_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×4^{2}m = 80m$，在空中最后1s内下落的高度为$h_{2}=h - h_{1}=45m$，故C正确；根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知，在下落过程中，第1s内、第2s内、第3s内的下落高度之比为$1:3:5$，故D错误。故选C。

针对练 2.（2024·河北保定期末）
某质点从一定高度开始做自由落体运动，已知它着地时的速度大小为 $ v $，则它下落至总高度的一半时的速度大小为（ ）

A.$ \frac{1}{2}v $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2}v $
C.$ \frac{\sqrt{2} + 1}{3}v $
D.$ \frac{\sqrt{2} + 1}{4}v $

答案： B 由速度一位移关系可知，做自由落体运动的质点下落至着地时，有$v^{2}=2gh$，下落至总高度的一半时，有$v_{1}^{2}=2g\frac{h}{2}$，联立解得质点下落至总高度的一半时的速度大小为$v_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}v$。故选B。

例1（多选）(2024·湖北荆门高一上学期期末)如图所示,两个小球a、b通过长为$l$的轻绳连接，现用手拿着上端的小球a由静止释放两球,释放时小球a距离地面的高度为$h$,两个小球相继落地的时间间隔为$\Delta t$，两个小球落地后不再反弹，不考虑空气阻力,下列说法中正确的是 (　　)

A.小球a落地速度比小球b落地速度小
B.两个小球从释放至最后都落地的过程中,轻绳的拉力一直为零
C.若增大$h$,则两个小球相继落地的时间间隔$\Delta t$变小
D.若增大$h$,则两个小球相继落地的时间间隔$\Delta t$变大

答案： BC b落地前，以a、b为整体，可知整体做自由落体运动，轻绳的拉力为0；b落地后，绳子松弛，轻绳的拉力仍为0，a继续做自由落体运动，则有$v_{b} = \sqrt{2g(h - l)}$，$v_{a} = \sqrt{2gh}$，可知小球a落地速度比小球b落地速度大，故A错误，B正确。若增大h，则小球b落地时，小球a的速度v越大，则根据匀变速直线运动规律有$l = v · \Delta t + \frac{1}{2}g · (\Delta t)^{2}$，可知，两个小球相继落地的时间间隔$\Delta t$一定变小，故C正确，D错误。故选BC。