《2025年金版新学案高中同步导学高中物理必修第一册人教版》

例 5
如图所示，光滑斜面 $ AE $ 被分成四个相等的部分，一个物体由 $ A $ 点静止释放后做匀加速直线运动，下面结论中正确的是（ ）


A.经过每一部分时，其速度变化量均相同
B.物体通过 $ AB $、$ BC $、$ CD $、$ DE $ 段所需的时间之比为 $ 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3} : 2 $
C.物体到达各点的速度大小之比为 $ 1 : 2 : 3 : 4 $
D.物体在 $ B $ 点的速度大小是在 $ E $ 点速度大小的一半
尝试解题：

答案： 例5 D 根据匀变速直线运动的位移—时间公式$x = \frac{1}{2}at^{2}$，可得$t = \sqrt{\frac{2x}{a}}$，因为$AB$、$AC$、$AD$、$AE$段的位移之比为$1:2:3:4$，则有$t_{B}:t_{C}:t_{D}:t_{E} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:2$，可知物体通过$AB$、$BC$、$CD$、$DE$段所需的时间之比为$1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(2 - \sqrt{3})$，因为通过连续相等位移所用的时间不等，根据$\Delta v = at$可知，经过每一部分的速度变化量不等，故$A$、$B$错误；根据匀变速直线运动的速度—位移公式$v^{2} = 2ax$，可得$v = \sqrt{2ax}$，因为$AB$、$AC$、$AD$、$AE$段的位移之比为$1:2:3:4$，则有$v_{B}:v_{C}:v_{D}:v_{E} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:2$，故$C$错误；根据$v_{B}:v_{C}:v_{D}:v_{E} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:2$，可知物体在$B$点速度大小是在$E$点速度大小的一半，故$D$正确。故选$D$。

针对练 1.
（2024·浙江丽水期末）如图是无轨小火车，已知小火车由 $ 5 $ 节长度均为 $ 2 \, m $ 的车厢组成，车厢间的空隙不计，小明站在地面上保持静止，且与第一节车厢头部对齐，火车从静止开始启动做 $ a = 0.2 \, m/s^2 $ 的匀加速直线运动，下列说法正确的是（ ）


A.第 $ 1 $、$ 2 $、$ 3 $ 节车厢经过小明的时间之比是 $ 1 : 2 : 3 $
B.第 $ 1 $、$ 2 $、$ 3 $ 节车厢尾分别经过小明时的速度之比是 $ 1 : 2 : 3 $
C.第 $ 3 $ 节车厢经过小明的时间是 $ 2\sqrt{15} \, s $
D.第 $ 5 $ 节车厢尾经过小明瞬间的速度是 $ 2 \, m/s $

答案： 针对练1. D 设每节车厢的长度为$L$，则有$L = \frac{1}{2}at_{1}^{2}$，$2L = \frac{1}{2}at_{2}^{2}$，$3L = \frac{1}{2}at_{3}^{2}$，可得$t_{1}:t_{2}:t_{3} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，则第$1$、$2$、$3$节车厢经过小明的时间之比是$t_{1}:(t_{2}-t_{1}):(t_{3}-t_{2}) = 1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2})$，故$A$错误；第$1$、$2$、$3$节车厢尾经过小明时的速度为$v_{1} = at_{1}$，$v_{2} = at_{2}$，$v_{3} = at_{3}$，则第$1$、$2$、$3$节车厢尾经过小明时的速度之比是$v_{1}:v_{2}:v_{3} = t_{1}:t_{2}:t_{3} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，故$B$错误；第$1$节车厢经过小明的时间是$t_{1} = \sqrt{\frac{2L}{a}} = 2\sqrt{5} s$，则第$3$节车厢经过小明的时间是$t = ( \sqrt{3}-\sqrt{2})t_{1} = 2(\sqrt{15}-\sqrt{10}) s$，故$C$错误；第$1$节车厢尾经过小明瞬间的速度是$v_{1} = at_{1} = 0.4\sqrt{5} m/s$，则第$5$节车厢尾经过小明瞬间的速度是$v_{5} = \sqrt{5}v_{1} = 2 m/s$，故$D$正确。故选$D$。

针对练 2.
（2024·贵州安顺高一上学期期末）如图所示，某列车在一次运行测试中，从 $ a $ 点开始做匀减速直线运动，通过连续四段相等的位移 $ x $，运动到 $ e $ 点时速度减为零，列车可视为质点。下列说法正确的是（ ）


A.$ ae $ 段的平均速度等于通过 $ c $ 点的瞬时速度
B.$ ac $ 段和 $ ce $ 段所用时间之比为 $ \sqrt{2} : 1 $
C.$ ab $ 段和 $ de $ 段的平均速度大小之比为 $ 1 : (2 - \sqrt{3}) $
D.列车通过 $ a $、$ b $、$ c $、$ d $ 点时的速度大小之比为 $ 4 : 3 : 2 : 1 $

答案： 针对练2. C $c$点是位移的中点，不是时间的中点，故列车通过$ae$段的平均速度不等于通过$c$点的瞬时速度，故$A$错误；逆向思维，列车反向做匀加速直线运动，根据速度—位移公式$v^{2} = 2ax$，可知，列车通过$a$、$b$、$c$、$d$点时的速度大小之比为$2:\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$，故$D$错误；根据匀变速直线运动规律$x = \frac{1}{2}at^{2}$可知，列车通过$ab$段和$de$段的时间之比为$(2 - \sqrt{3}):1$，根据平均速度的公式$\overline{v} = \frac{x}{t}$，可知$ab$段和$de$段的平均速度大小之比为$1:(2 - \sqrt{3})$，故$C$正确；根据匀变速直线运动规律$x = \frac{1}{2}at^{2}$可知，列车通过$ac$段和$ce$段所用时间之比为$[(2 - \sqrt{3}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2})]:[(\sqrt{2}-1)+1] = (\sqrt{2}-1):1$，故$B$错误。故选$C$。

【师生互动】 有四个物体 A、B、C、D，物体 A、B 运动的 $x - t$ 图像如图甲所示；物体 C、D 从同一地点沿同一方向运动的 $v - t$ 图像如图乙所示。完成下列任务：

任务 1. 物体 A 和 B 做匀变速直线运动还是匀速直线运动？
任务 2. 在 $0\sim3\ s$ 的时间内，物体 A、B 的间距逐渐增大还是减小？
任务 3. 在 $0\sim3\ s$ 的时间内，物体 C、D 的间距逐渐增大还是减小？

答案： 任务1.物体A和B均做匀速直线运动。
任务2.增大。
任务3.增大。