《2025年金版新学案高中同步导学高中物理必修第一册人教版》

例5 高铁甲以 $v_1 = 288\ km/h$ 的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距 $x_0 = 0.5\ km$ 处有一高铁乙正沿同方向以 $v_2 = 144\ km/h$ 的速度做匀速运动，司机立即以大小为 $a$ 的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，$a$ 应满足什么条件？

答案：
$a\geqslant1.6m/s^{2}$
解析:$v_{1}=288km/h = 80m/s$，$v_{2}=144km/h = 40m/s$。
法一:物理分析法
当甲、乙速度相等时，有$v_{1}-at = v_{2}$
要使甲、乙不相撞，此时二者的位移$x_{1}$、$x_{2}$需满足$x_{1}\leqslant x_{2}+x_{0}$
其中$x_{1}=v_{1}t - \frac{1}{2}at^{2}$，$x_{2}=v_{2}t$
联立解得$a\geqslant1.6m/s^{2}$。
法二:图像法
分别画出甲、乙的$v - t$图像，如图所示
刚好不相撞时图中阴影部分面积为$x_{0}$
则有$\frac{1}{2}(v_{1}-v_{2})t_{1}=x_{0}$，$\frac{v_{1}-v_{2}}{t_{1}}=a_{min}$
解得$a_{min}=1.6m/s^{2}$
若要使甲、乙不相撞，则$a\geqslant1.6m/s^{2}$。
法三:数学分析法
假设甲减速$t$时间后，甲、乙相撞
则有$x_{1}=x_{2}+x_{0}$，即$v_{1}t - \frac{1}{2}at^{2}=v_{2}t + x_{0}$
整理可得$at^{2}-2(v_{1}-v_{2})t + 2x_{0}=0$
要使甲、乙不相撞，则根的判别式应满足$\Delta = 4(v_{1}-v_{2})^{2}-8ax_{0}\leqslant0$
代入数据解得$a\geqslant1.6m/s^{2}$。

针对练
汽车以 $20\ m/s$ 的速度在平直公路上行驶时，刹车后 $40\ s$ 停下来。现在同一平直公路上以 $20\ m/s$ 的速度行驶时发现前方 $200\ m$ 处有一货车以 $6\ m/s$ 的速度同向匀速行驶，司机以相同的加速度立即刹车。
(1) 求汽车刹车时的加速度大小。
(2) 是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？

答案：
(1)$0.5m/s^{2}$　
(2)否　4m
解析:
(1)汽车刹车时加速度大小为$a=\frac{v_{0}}{t}=0.5m/s^{2}$。
(2)当汽车减速到与货车速度相同时，所用时间
$t_{0}=\frac{v_{0}-v_{1}}{a}=28s$
汽车运动的位移$x_{1}=\frac{v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}=364m$
此时间内货车运动的位移为$x_{2}=v_{1}t_{0}=168m$
由于$x_{2}+200m = 368m＞x_{1}$
故汽车与货车不会发生撞车事故
两车最近距离为$\Delta x_{min}=x_{2}+200m - x_{1}=4m$。