《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为$1$，则阴影部分的面积为（ ）

A.$5$
B.$6$
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{17}{3}$

答案： B

8. 如图，在正三角形$ABC$中，$D$，$E$两点分别在$AC$，$AB$上，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AE = BE$，则有（ ）

A.$\triangle AED\backsim\triangle BED$
B.$\triangle AED\backsim\triangle CBD$
C.$\triangle AED\backsim\triangle ABD$
D.$\triangle BAD\backsim\triangle BCD$

答案： B

9. 将一副三角尺如图叠放在一起，则$CE:BE$的值是（ ）

A.$2:1$
B.$3:1$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$1:\sqrt{3}$

答案： C

10. 如图，在平面直角坐标系中，$A(2,0)$，$B(0,4)$，在$x$轴上找到点$C(1,0)$，在$y$轴的正半轴上找到点$D$，使$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似，则点$D$的坐标是______.

答案： (0,2)或(0,1/2)

11. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$AC$与$BD$交于点$E$，$\angle ADB=\angle ACB$.
(1) 求证：$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$；
(2) 若$AB\perp AC$，$AE:EC = 1:2$，$F$是$BC$中点，
① 求$\angle ACB$的度数.
② 求证：四边形$ABFD$是菱形.

答案：
(1) 证明：
∵$AB = AD$，
∴$\angle ADB=\angle ABD$。
∵$\angle ADB = \angle ACB$，
∴$\angle ABD=\angle ACB$。
∵$\angle BAE=\angle CAB$，
∴$\triangle ABE \sim \triangle ACB$（两角分别相等）。
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
(2) ① 设$AE = x$，则$EC = 2x$，$AC = 3x$。
由
(1)得$AB^2=AE\cdot AC = x\cdot3x=3x^2$，
∴$AB=\sqrt{3}x$。
∵$AB\perp AC$，
∴$\tan\angle ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴$\angle ACB = 30°$。
② 证明：
∵$F$是$BC$中点，$\angle BAC = 90°$，
∴$AF = BF = CF$。
∵$\angle ABC=60°$，
∴$\triangle ABF$是等边三角形，$AB = BF = AF$。
∵$AB = AD$，
∴$AD = BF$。
∵$\angle ADB=\angle ACB = 30°$，$\angle DBC=30°$，
∴$AD// BF$。
∴四边形$ABFD$是平行四边形。
∵$AB = BF$，
∴四边形$ABFD$是菱形。