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8. 如图，在正方形网格中有$5$个格点三角形，分别是①$\triangle ABC$，②$\triangle ACD$，③$\triangle ADE$，④$\triangle AEF$，⑤$\triangle AGH$. 其中与⑤相似的三角形是（ ）
A.①③
B.①④
C.②④
D.①③④
A.①③
B.①④
C.②④
D.①③④
答案：
B
9. 如图，$A$，$B$，$C$，$P$，$Q$，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点. 为使$\triangle PQR \backsim \triangle ABC$，点$R$应是甲、乙、丙、丁四点中的________.
答案：
乙
10. 如图，四边形$ABCD$为矩形，$\frac{AD}{AB} = \frac{AM}{AN} = \frac{DM}{BN}$，则$\angle MAN$为________度.
答案：
90
11. 如图，分别取等边三角形$ABC$各边的中点$D$，$E$，$F$，得$\triangle DEF$. $\triangle ABC$的边长为$a$.
（1）$\triangle DEF$与$\triangle ABC$相似吗？如果相似，那么相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积；
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系？
（1）$\triangle DEF$与$\triangle ABC$相似吗？如果相似，那么相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积；
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系？
答案：
（1）相似。
∵D，E，F分别为等边△ABC各边中点，
∴DE，EF，FD为△ABC中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$AB，FD=$\frac{1}{2}$BC，
∵△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=a，
∴DE=EF=FD=$\frac{a}{2}$，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△ABC，相似比为$\frac{1}{2}$。
（2）△ABC面积：过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=a，∠BAC=60°，
∴BH=$\frac{a}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2。
△DEF面积：由（1）知相似比为$\frac{1}{2}$，
S△DEF=（$\frac{1}{2}$）2S△ABC=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2=$\frac{\sqrt{3}}{16}$a2。
（3）面积比为（边长之比）2，即$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}$=（$\frac{1}{2}$）2=$\frac{1}{4}$。
∵D，E，F分别为等边△ABC各边中点，
∴DE，EF，FD为△ABC中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$AB，FD=$\frac{1}{2}$BC，
∵△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=a，
∴DE=EF=FD=$\frac{a}{2}$，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△ABC，相似比为$\frac{1}{2}$。
（2）△ABC面积：过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=a，∠BAC=60°，
∴BH=$\frac{a}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2。
△DEF面积：由（1）知相似比为$\frac{1}{2}$，
S△DEF=（$\frac{1}{2}$）2S△ABC=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2=$\frac{\sqrt{3}}{16}$a2。
（3）面积比为（边长之比）2，即$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}$=（$\frac{1}{2}$）2=$\frac{1}{4}$。
12. 如图，在边长为$1$的小正方形组成的网格中，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的顶点都在格点上，$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$是$\triangle DEF$边上的$5$个格点. 请按要求完成下列各题：
（1）$\triangle ABC$和$\triangle DFF$是否相似？说明理由；
（2）画一个三角形，使它的三个顶点为$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$中的$3$个格点，且与$\triangle ABC$相似（不写作法）.
（1）$\triangle ABC$和$\triangle DFF$是否相似？说明理由；
（2）画一个三角形，使它的三个顶点为$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$中的$3$个格点，且与$\triangle ABC$相似（不写作法）.
答案：
（1）$\triangle ABC \sim \triangle DEF$，理由如下：
在$10×10$的网格中，
$AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$，
$BC = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$，
$DE = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$EF = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}$，
$DF = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2\sqrt{10}$，
$\frac{AB}{DE} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{5}} \neq \frac{AC}{DF} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$（此路不通，换比例），
重新计算比例：
$\frac{AB}{DF} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{10}} \neq \frac{AC}{DE} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$（此路不通，换边对应），
正确对应：
$\frac{AB}{DE} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{5}}$（不直观，换直观边），
直观对应：
$\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$，
$\triangle DEF$中，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（错误，重新算$DF$），
$D(4,8),F(2,6)$，$DF=\sqrt{(4 - 2)^{2}+(8 - 6)^{2}}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$（错误，$F$点坐标错误，$F$应为$(2,4)$），
$D(4,8),F(2,4)$，$DF=\sqrt{(4 - 2)^{2}+(8 - 4)^{2}}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$，
$DE=\sqrt{(4-0)^2+(8 - 0)^2}=4\sqrt{5}$，
$EF=\sqrt{(4-0)^2+(4 - 0)^2}=4\sqrt{2}$（错误，$E(8,0),F(2,4)$），
$E(8,0),F(2,4)$，$EF=\sqrt{(8 - 2)^{2}+(0 - 4)^{2}}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$，
$AC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$，
$\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{BC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{DE}$，
根据三边对应成比例，两个三角形相似，所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。
（2）如$\triangle P_{2}P_{4}P_{5}$（答案不唯一）。
在$10×10$的网格中，
$AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$，
$BC = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$，
$DE = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$EF = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}$，
$DF = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2\sqrt{10}$，
$\frac{AB}{DE} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{5}} \neq \frac{AC}{DF} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$（此路不通，换比例），
重新计算比例：
$\frac{AB}{DF} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{10}} \neq \frac{AC}{DE} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$（此路不通，换边对应），
正确对应：
$\frac{AB}{DE} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{5}}$（不直观，换直观边），
直观对应：
$\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$，
$\triangle DEF$中，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（错误，重新算$DF$），
$D(4,8),F(2,6)$，$DF=\sqrt{(4 - 2)^{2}+(8 - 6)^{2}}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$（错误，$F$点坐标错误，$F$应为$(2,4)$），
$D(4,8),F(2,4)$，$DF=\sqrt{(4 - 2)^{2}+(8 - 4)^{2}}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$，
$DE=\sqrt{(4-0)^2+(8 - 0)^2}=4\sqrt{5}$，
$EF=\sqrt{(4-0)^2+(4 - 0)^2}=4\sqrt{2}$（错误，$E(8,0),F(2,4)$），
$E(8,0),F(2,4)$，$EF=\sqrt{(8 - 2)^{2}+(0 - 4)^{2}}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$，
$AC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$，
$\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{BC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{DE}$，
根据三边对应成比例，两个三角形相似，所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。
（2）如$\triangle P_{2}P_{4}P_{5}$（答案不唯一）。
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