《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

11. 若三角形的两边长是 $ 4 $ 和 $ 6 $，第三边的长是方程 $ (x - 3)^{2}=4 $ 的根，则此三角形的周长为（ ）

A.$ 17 $
B.$ 11 $
C.$ 15 $
D.$ 11 $ 或 $ 15 $

答案： C

12. 某肺炎是一种传染性极强的疾病。如果有一人患病，经过两轮传染后有 $ 81 $ 人患病，设每轮传染中平均一个人传染了 $ x $ 个人，下列列式正确的是（ ）

A.$ x + x(1 + x)=81 $
B.$ 1 + x + x^{2}=81 $
C.$ (1 + x)^{2}=81 $
D.$ x(1 + x)=81 $

答案： C

13. 方程 $ (x + 1)^{2}=4 $ 的根是______。

答案： $x_{1} = 1,x_{2} = - 3$（或 $x_{1} = - 3,x_{2} = 1$）

14. 如果方程 $ x^{2}+4x + n = 0 $ 可以配方成 $ (x + m)^{2}=3 $，那么 $ (n - m)^{2024}= $______。

答案： $1$

15. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2}-ax + a^{2}-1 = 0 $ 的一个根为 $ 0 $，求实数 $ a $ 的值。

答案： 因为方程$(a - 1)x^{2}-ax + a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$。
已知方程的一个根为$0$，将$x = 0$代入方程得：
$(a - 1) × 0^{2} - a × 0 + a^{2} - 1 = 0$
化简得：$a^{2} - 1 = 0$
解得：$a = 1$或$a = -1$
又因为$a \neq 1$，所以$a = -1$
结论：$a = -1$

16. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的一个解为 $ 1 $，求实数 $ m $ 的值及方程的另一个解。

答案： 答题区：
根据题意，方程 $x^{2} - 4x + m = 0$ 的一个解为 $1$，将 $x = 1$ 代入方程得：
$1^{2} - 4 × 1 + m = 0$，
即：
$1 - 4 + m = 0$，
解得：
$m = 3$，
将 $m = 3$ 代入原方程，得到：
$x^{2} - 4x + 3 = 0$，
因式分解得：
$(x - 1)(x - 3) = 0$，
解得：
$x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$。
所以，实数 $m$ 的值为 $3$，方程的另一个解为 $x = 3$。

17. 阅读材料：选取二次三项式 $ ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如：选取二次项和一次项配方：$ x^{2}-4x + 2=(x^{2}-4x + 4 - 4)+2=(x - 2)^{2}-2 $。
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)【直接应用】将代数式配方：$ x^{2}-4x + 9 = $______；
(2)【类比应用】已知 $ x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 13 = 0 $，求 $ (-y)x $ 的值；
(3)【知识拓展】求当 $ x,y $ 为何值时，代数式 $ 5x^{2}-4xy + y^{2}+6x + 25 $ 取得最小值，最小值为多少？

答案：
(1) $(x - 2)^2 + 5$
(2) $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x + 2)^2 + (y - 3)^2$，因为$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$，所以$x + 2 = 0$，$y - 3 = 0$，解得$x = -2$，$y = 3$，则$(-y)^x = (-3)^{-2} = \frac{1}{9}$
(3) $5x^2 - 4xy + y^2 + 6x + 25 = (4x^2 - 4xy + y^2) + (x^2 + 6x + 9) + 16 = (2x - y)^2 + (x + 3)^2 + 16$，当$2x - y = 0$且$x + 3 = 0$时，代数式取最小值，解得$x = -3$，$y = -6$，最小值为16。当$x = -3$，$y = -6$时，代数式取得最小值，最小值为16。