《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 已知一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$。
（1）当 $b^{2}-4ac$ ______ 时，方程有两个不相等的实数根：$x_{1}=$ ______ ，$x_{2}=$ ______ ；
（2）当 $b^{2}-4ac$ ______ 时，方程有两个相等的实数根：$x_{1}=x_{2}=$ ______ ；
（3）当 $b^{2}-4ac$ ______ 时，方程没有实数根。

答案： （1）＞0，$\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；（2）=0，$-\frac{b}{2a}$；（3）＜0

2. 用公式法解一元二次方程 $3x^{2}-4x = 8$ 时，化方程为一般式，其中的 $a$，$b$，$c$ 依次为（ ）

A.$3$，$-4$，$8$
B.$3$，$-4$，$-8$
C.$3$，$4$，$-8$
D.$3$，$4$，$8$

答案： B

3. 方程 $2x^{2}-x + m = 0$ 的根的判别式的值为 $9$，则常数 $m$ 的值为（ ）

A.$2$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

答案： D

4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+4x + 2 = 0$ 的根的情况是（ ）

A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.有两个相等的实数根

答案： B

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 5)x^{2}-2x + 2 = 0$ 有实数根，则整数 $k$ 的最大值为（ ）

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

答案： A

6. 方程 $x^{2}+3x + 1 = 0$ 的根的判别式的值为 ______ ，解为 $x_{1}=$ ______ ，$x_{2}=$ ______ 。

答案： 5；$\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$；$\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

7. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + c = 0$ 无实数根，则实数 $c$ 的取值范围是 ______ 。

答案： $c ＞ 1$

8. 用公式法解下列方程：
（1）$x^{2}-x - 6 = 0$；
（2）$x^{2}-6x = -9$；
（3）$x^{2}-2x + 3 = 0$；
（4）$2x^{2}-8x + 3 = 0$；
（5）$2x^{2}-4x = 1$；
（6）$5x^{2}=7 - 2x$。

答案： （1）$x^{2}-x - 6 = 0$
$a=1$，$b=-1$，$c=-6$
$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-6)=1 + 24=25＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm5}{2}$
$x_{1}=\frac{1 + 5}{2}=3$，$x_{2}=\frac{1 - 5}{2}=-2$
（2）$x^{2}-6x = -9$
整理得$x^{2}-6x + 9 = 0$
$a=1$，$b=-6$，$c=9$
$\Delta =(-6)^{2}-4×1×9=36 - 36=0$
$x=\frac{6\pm0}{2}=3$
$x_{1}=x_{2}=3$
（3）$x^{2}-2x + 3 = 0$
$a=1$，$b=-2$，$c=3$
$\Delta =(-2)^{2}-4×1×3=4 - 12=-8＜0$
方程无实数根
（4）$2x^{2}-8x + 3 = 0$
$a=2$，$b=-8$，$c=3$
$\Delta =(-8)^{2}-4×2×3=64 - 24=40＞0$
$x=\frac{8\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{2}$
$x_{1}=\frac{4 + \sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=\frac{4 - \sqrt{10}}{2}$
（5）$2x^{2}-4x = 1$
整理得$2x^{2}-4x - 1 = 0$
$a=2$，$b=-4$，$c=-1$
$\Delta =(-4)^{2}-4×2×(-1)=16 + 8=24＞0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$
$x_{1}=\frac{2 + \sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2 - \sqrt{6}}{2}$
（6）$5x^{2}=7 - 2x$
整理得$5x^{2}+2x - 7 = 0$
$a=5$，$b=2$，$c=-7$
$\Delta =2^{2}-4×5×(-7)=4 + 140=144＞0$
$x=\frac{-2\pm\sqrt{144}}{10}=\frac{-2\pm12}{10}$
$x_{1}=\frac{-2 + 12}{10}=1$，$x_{2}=\frac{-2 - 12}{10}=-\frac{7}{5}$

9. 下列关于 $x$ 的方程中一定有实数解的是（ ）

A.$x^{2}-mx - 2 = 0$
B.$x^{2}-mx + 2 = 0$
C.$x^{2}+3x + 3 = 0$
D.$\sqrt{2}x^{2}-2x + 1 = 0$

答案： A

10. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2)x^{2}+2ax + a - 1 = 0$ 有实数根，且关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}a - x\lt0, \\x + 2\leqslant\frac{1}{2}(x + 7)\end{cases}$ 有解，且最多有 $6$ 个整数解，则符合条件的整数 $a$ 有（ ）

A.$3$ 个
B.$4$ 个
C.$5$ 个
D.$6$ 个

答案： C