《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

10. 若菱形两条对角线的长度是方程$(x - 2)^{2}=2x - 4$的两根，则该菱形的边长为（ ）

A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.5

答案： A

11. 若直角三角形的两边长分别是方程$x^{2}-7x + 12 = 0$的两根，则该直角三角形的面积是（ ）

A.6
B.12
C.12或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$

答案： D

12. 若三角形的三边长$a,b,c$满足$(a - c)^{2}+(a - c)b = 0$，则这个三角形是____三角形。

答案： 等腰（题目未给出选项，按照要求直接填写答案性质）

13. 若三角形的一边长为10，另两边长是方程$x^{2}-14x + 48 = 0$的两个实数根，则这个三角形是____三角形。

答案： 直角

14. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x - 2)^{2}=6 - 3x$；
(2)$3x^{2}-5x + 2 = 0$。

答案：
(1)
首先将方程$(x - 2)^{2}=6 - 3x$化为一般形式：
$(x - 2)^{2}+3x - 6 = 0$
$(x - 2)^{2}+3(x - 2)=0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 2 + 3)=0$
即$(x - 2)(x + 1)=0$
则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
(2)
对于方程$3x^{2}-5x + 2 = 0$
因式分解得：$(3x - 2)(x - 1)=0$
则$3x - 2 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_{1}=\frac{2}{3}$，$x_{2}=1$

15. 阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为$x = a$的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单。运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程$x^{3}+2x^{2}-3x = 0$，可以通过因式分解把它转化为：$x(x^{2}+2x - 3)=0$，解方程$x = 0$和$x^{2}+2x - 3 = 0$，可得方程$x^{3}+2x^{2}-3x = 0$的解为$x_{1}=0,x_{2}=-3,x_{3}=1$。
(1)解方程$2x^{3}+10x^{2}-12x = 0$；
(2)拓展：解方程组$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=17①\\x - y = 3②\end{cases}$。

答案：
(1) $2x^{3}+10x^{2}-12x = 0$
提取公因式得：$2x(x^{2}+5x - 6)=0$
因式分解二次项：$2x(x + 6)(x - 1)=0$
则$2x=0$或$x + 6=0$或$x - 1=0$
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-6$，$x_{3}=1$
(2) 由②得$x = y + 3$，代入①得$(y + 3)^{2}+y^{2}=17$
展开得$y^{2}+6y + 9 + y^{2}=17$
合并同类项得$2y^{2}+6y - 8=0$，化简得$y^{2}+3y - 4=0$
因式分解得$(y + 4)(y - 1)=0$
解得$y_{1}=-4$，$y_{2}=1$
当$y=-4$时，$x=-4 + 3=-1$；当$y=1$时，$x=1 + 3=4$
方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}$，$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$