《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$，$F$三点分别是边$AB$，$AC$，$BC$上的点，$DE// BC$，$EF// AB$且$AD:DB=3:4$，那么$CF:CB$的值为（ ）

A.$4:3$
B.$4:7$
C.$3:4$
D.$3:7$

答案： B

8. 如图，延长正方形$ABCD$的一边$CB$至点$E$，$ED$与$AB$相交于点$F$，过点$F$作$FG// BE$交$AE$于点$G$，求证：$GF=FB$。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AB//CD。
1.
∵AB//CD，
∴∠EFB=∠EDC，∠E=∠E，
∴△EFB∽△EDC（AA），
∴$\frac{FB}{DC}=\frac{EB}{EC}$。
∵DC=BC，
∴$\frac{FB}{BC}=\frac{EB}{EC}$，即$FB=\frac{EB\cdot BC}{EC}$。
2.
∵FG//BE，
∴∠AFG=∠ABE，∠FAG=∠BAE，
∴△AFG∽△ABE（AA），
∴$\frac{FG}{BE}=\frac{AF}{AB}$。
∵AF=AB-FB，AB=BC，
∴$\frac{FG}{BE}=\frac{BC-FB}{BC}=1-\frac{FB}{BC}$。
3. 由$\frac{FB}{BC}=\frac{EB}{EC}$，得$\frac{FG}{BE}=1-\frac{EB}{EC}=\frac{EC-EB}{EC}=\frac{BC}{EC}$，
∴$FG=\frac{BE\cdot BC}{EC}$。
综上，$FG=FB$。
结论：GF=FB。

9. 阅读材料，并解决问题。
角平分线分线段成比例定理：如图1，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图2，过点$C$作$CE// DA$，交$BA$的延长线于点$E$。
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，在$Rt\triangle ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，则$BD$的长是________；
（3）如图4，在$\triangle ABC$中，$E$是$BC$的中点，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$EF// AD$交$AC$于点$F$，$AB=7$，$AC=15$，求$AF$长。

答案： （1）证明：
∵CE//DA，
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等），∠2=∠ACE（两直线平行，内错角相等）。
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠ACE，
∴AE=AC（等角对等边）。
∵CE//DA，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$（平行线分线段成比例定理）。
∵AE=AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
（2）$\frac{3}{2}$
（3）4