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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+x + 1 = 0$ 有实数根，则实数 $k$ 的取值范围是 ______ 。
答案：
$k\leq \frac{5}{4}$且$k\neq1$（填具体范围表述，由于选项未给，按要求填写格式）
12. 如果关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x^{2}+3x + 2 = 0$ 有实数根，那么实数 $m$ 的取值范围是 ______ 。
答案：
$m\leqslant\frac{17}{8}$（按照题目要求这里若为填空题直接写结果形式）
13. 当 $k$ 取何值时，关于 $x$ 的方程 $4x^{2}-(k + 2)x + (k - 1) = 0$ 有两个相等的实数根？求出此时方程的根。
答案：
要使方程 $4x^{2}-(k + 2)x + (k - 1) = 0$ 有两个相等的实数根，需判别式 $\Delta = 0$。
1. 计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(k + 2)]^{2}-4×4×(k - 1)\\&=(k + 2)^{2}-16(k - 1)\\&=k^{2}+4k + 4 - 16k + 16\\&=k^{2}-12k + 20\end{aligned}$
2. 令判别式等于0求解k：
$k^{2}-12k + 20 = 0$
因式分解得：
$(k - 2)(k - 10)=0$
解得 $k = 2$ 或 $k = 10$。
3. 当$k = 2$时：
方程化为 $4x^{2}-4x + 1 = 0$，即 $(2x - 1)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
4. 当$k = 10$时：
方程化为 $4x^{2}-12x + 9 = 0$，即 $(2x - 3)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=\frac{3}{2}$。
综上，当 $k = 2$ 时，方程的根为 $x = \frac{1}{2}$；当 $k = 10$ 时，方程的根为 $x = \frac{3}{2}$。
1. 计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(k + 2)]^{2}-4×4×(k - 1)\\&=(k + 2)^{2}-16(k - 1)\\&=k^{2}+4k + 4 - 16k + 16\\&=k^{2}-12k + 20\end{aligned}$
2. 令判别式等于0求解k：
$k^{2}-12k + 20 = 0$
因式分解得：
$(k - 2)(k - 10)=0$
解得 $k = 2$ 或 $k = 10$。
3. 当$k = 2$时：
方程化为 $4x^{2}-4x + 1 = 0$，即 $(2x - 1)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
4. 当$k = 10$时：
方程化为 $4x^{2}-12x + 9 = 0$，即 $(2x - 3)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=\frac{3}{2}$。
综上，当 $k = 2$ 时，方程的根为 $x = \frac{1}{2}$；当 $k = 10$ 时，方程的根为 $x = \frac{3}{2}$。
14. 阅读与思考
请仔细阅读并完成相应的任务。
对一元二次方程根的判别式的再认识
通过学习我们知道一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$ 为常数），当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时，其求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
我们先对关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$ 为常数）进行如下的配方：
方程两边都乘以 $4a$，得 $4a^{2}x^{2}+4abx + 4ac = 0$ ①
把常数项移到方程的右边，得 $4a^{2}x^{2}+4abx = -4ac$
配方，得 $4a^{2}x^{2}+4abx + b^{2}=b^{2}-4ac$
$(2ax)^{2}+2(2ax)b + b^{2}=b^{2}-4ac$
即 $(2ax + b)^{2}=b^{2}-4ac$ ②
因为 $(2ax + b)^{2}\geqslant0$
所以，当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时，$(2ax + b)^{2}=b^{2}-4ac$，方程有两个实数根；
当 $b^{2}-4ac\lt0$ 时，$(2ax + b)^{2}\neq b^{2}-4ac$，______ 。
一元二次方程根的判别式的存在形式②是方程①的等价形式。这就把一元二次方程根的判别式置于方程的观点之中，因而判别式的应用既可以由①往②想，也可以由②往①想。由于一元二次方程根的判别式是配方的结果，应用判别式就省去了配方的过程而显得特别简单。
任务：
（1）文中横线上的内容应为 ______ ；
（2）不解方程，请直接判断下列方程的根的情况；
① $x^{2}-5x + 5 = 0$，② $3x(x - 1)+1 = 0$，③ $y^{2}+0.09 = 0.6y$；
（3）某次课堂检测，小马同学在解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx - 8 = 0$ 过程中，解出其中一个根是 $x = -2$，他核对时发现所抄的 $b$ 比原方程的 $b$ 值大 $1$，求原方程的根。
请仔细阅读并完成相应的任务。
对一元二次方程根的判别式的再认识
通过学习我们知道一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$ 为常数），当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时，其求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
我们先对关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$ 为常数）进行如下的配方：
方程两边都乘以 $4a$，得 $4a^{2}x^{2}+4abx + 4ac = 0$ ①
把常数项移到方程的右边，得 $4a^{2}x^{2}+4abx = -4ac$
配方，得 $4a^{2}x^{2}+4abx + b^{2}=b^{2}-4ac$
$(2ax)^{2}+2(2ax)b + b^{2}=b^{2}-4ac$
即 $(2ax + b)^{2}=b^{2}-4ac$ ②
因为 $(2ax + b)^{2}\geqslant0$
所以，当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时，$(2ax + b)^{2}=b^{2}-4ac$，方程有两个实数根；
当 $b^{2}-4ac\lt0$ 时，$(2ax + b)^{2}\neq b^{2}-4ac$，______ 。
一元二次方程根的判别式的存在形式②是方程①的等价形式。这就把一元二次方程根的判别式置于方程的观点之中，因而判别式的应用既可以由①往②想，也可以由②往①想。由于一元二次方程根的判别式是配方的结果，应用判别式就省去了配方的过程而显得特别简单。
任务：
（1）文中横线上的内容应为 ______ ；
（2）不解方程，请直接判断下列方程的根的情况；
① $x^{2}-5x + 5 = 0$，② $3x(x - 1)+1 = 0$，③ $y^{2}+0.09 = 0.6y$；
（3）某次课堂检测，小马同学在解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx - 8 = 0$ 过程中，解出其中一个根是 $x = -2$，他核对时发现所抄的 $b$ 比原方程的 $b$ 值大 $1$，求原方程的根。
答案：
（1）方程没有实数根
（2）①$a=1$，$b=-5$，$c=5$，$\Delta=(-5)^2-4×1×5=25-20=5＞0$，有两个不相等的实数根；②方程化为$3x^2-3x+1=0$，$a=3$，$b=-3$，$c=1$，$\Delta=(-3)^2-4×3×1=9-12=-3＜0$，没有实数根；③方程化为$y^2-0.6y+0.09=0$，$a=1$，$b=-0.6$，$c=0.09$，$\Delta=(-0.6)^2-4×1×0.09=0.36-0.36=0$，有两个相等的实数根
（3）设原方程中$b$为$k$，小马抄的$b$为$k+1$，将$x=-2$代入$x^2+(k+1)x-8=0$得：$4-2(k+1)-8=0$，解得$k=-3$，原方程为$x^2-3x-8=0$，$\Delta=9+32=41$，$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}$，原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{2}$
（2）①$a=1$，$b=-5$，$c=5$，$\Delta=(-5)^2-4×1×5=25-20=5＞0$，有两个不相等的实数根；②方程化为$3x^2-3x+1=0$，$a=3$，$b=-3$，$c=1$，$\Delta=(-3)^2-4×3×1=9-12=-3＜0$，没有实数根；③方程化为$y^2-0.6y+0.09=0$，$a=1$，$b=-0.6$，$c=0.09$，$\Delta=(-0.6)^2-4×1×0.09=0.36-0.36=0$，有两个相等的实数根
（3）设原方程中$b$为$k$，小马抄的$b$为$k+1$，将$x=-2$代入$x^2+(k+1)x-8=0$得：$4-2(k+1)-8=0$，解得$k=-3$，原方程为$x^2-3x-8=0$，$\Delta=9+32=41$，$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}$，原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{2}$
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