《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

16. (8 分)如图 13,$PA,PB$是$\odot O$的切线,$A,B$为切点,$AC$是$\odot O$的直径,$\angle BAC=26^{\circ}$,求$\angle P$的度数.

答案： 16.
∵PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，
∴PA = PB，∠PAC = 90°。
∴∠PAB = 90° - ∠BAC = 90° - 26° = 64°。
∵PA = PB，
∴∠PAB = ∠PBA = 64°。
∴∠P = 180° - 64°×2 = 52°。

17. (10 分)如图 14,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$AC$为$\odot O$的直径,$\angle ACB=\angle BDC$.
(1)(5 分)试判断$\triangle ABC$的形状,并证明.
(2)(5 分)若$AB=10\sqrt{2}$,$AD=12$,求$CD$的长.

答案： 17.
(1)△ABC 是等腰直角三角形。证明：
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC = ∠ABC = 90°。
∵∠ACB = ∠BDC，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
∴AB = BC。又
∵∠ABC = 90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形。
(2)
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC = AB = 10$\sqrt{2}$。
∴AC = $\sqrt{AB² + BC²}$ = 20。又
∵在 Rt△ADC 中，∠ADC = 90°，AD = 12，
∴CD = $\sqrt{AC² - AD²}$ = 16。

18. (10 分)如图 15,在$\odot O$中,$A,B,C$为圆上的点,$OC\perp AB$,垂足为$E$,$\angle ACB=120^{\circ}$,$OC$的延长线与$AD$交于点$D$,且$\angle D=\angle B$.
(1)(5 分)求证:$AD$与$\odot O$相切.
(2)(5 分)若$CE=1$,求弦$AB$的长.(结果保留根号)

答案：
18.
(1)如图 16，连接 OA。
∵OC⊥AB，
∴$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CB}$。
∴CA = CB。又
∵∠ACB = 120°，
∴∠B = 30°。
∴∠AOC = 2∠B = 60°，∠D = ∠B = 30°。
∴∠OAD = 180° - (∠AOC + ∠D) = 90°。
∴AD 与⊙O 相切。
(2)
∵OC⊥AB，
∴∠BEC = 90°，E 是 AB 的中点。又
∵CE = 1，∠B = 30°，
∴BE = $\frac{CE}{tan30°}$ = $\sqrt{3}$，
∴AB = 2BE = 2$\sqrt{3}$。