《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

1. 下列函数中,是二次函数的是(D).

A.$ y = 8x $
B.$ y = \frac{1}{x^{2}} $
C.$ y = \sqrt{x^{2} - 2x + 1} $
D.$ y = x^{2} + 2 $

答案： 1. D [解析]$y = 8x$是一次函数，选项A错误；$y = \frac{1}{x^{2}}$不是整式形式，选项B错误；$y = \sqrt{x^{2}-2x + 1}$不是整式形式，选项C错误；$y = x^{2}+2$是二次函数，选项D正确. 故选D.

2. 抛物线 $ y = - 5x^{2} + 7 $ 的顶点坐标为(B).

A.$ (7,0) $
B.$ (0,7) $
C.$ (-5,0) $
D.$ (0,-5) $

答案： 2. B [解析]当$x = 0$时，$y = -5x^{2}+7$有最大值7，$\therefore$抛物线$y = -5x^{2}+7$的顶点坐标为$(0,7)$. 故选B.

3. 将抛物线 $ y = 7x^{2} $ 向右平移3个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是(C).

A.$ y = 7(x + 3)^{2} + 1 $
B.$ y = 7(x + 3)^{2} - 1 $
C.$ y = 7(x - 3)^{2} + 1 $
D.$ y = 7(x - 3)^{2} - 1 $

答案： 3. C [解析]将抛物线$y = 7x^{2}$向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是$y = 7(x - 3)^{2}+1$. 故选C.

4. 若二次函数 $ y = - x^{2} + bx + c $ 的图象的顶点坐标为 $ (2,3) $,则该二次函数表达式是(D).

A.$ y = - (x + 2)^{2} + 1 $
B.$ y = - 2(x + 2)^{2} - 3 $
C.$ y = - 2(x - 2)^{2} + 1 $
D.$ y = - (x - 2)^{2} + 3 $

答案： 4. D [解析]二次函数$y = -x^{2}+bx + c$中，$a = -1$，又$\because$其图象的顶点坐标为$(2,3)$，$\therefore$这个二次函数的表达式为$y = -(x - 2)^{2}+3$. 故选D.

5. 如图1,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ A(1,0) $, $ B(9,0) $,则其对称轴是(C).

A.直线 $ x = 3 $
B.直线 $ x = 4 $
C.直线 $ x = 5 $
D.直线 $ x = 6 $

答案： 5. C [解析]$\because$二次函数图象经过点$A(1,0)$，$B(9,0)$，$\therefore$其对称轴为直线$x = \frac{1 + 9}{2}=5$. 故选C.

6. 若函数 $ y = mx^{m - 2} - x + 1 $ 的图象是抛物线,则它的开口方向为(A).

A.向上
B.向下
C.都有可能
D.无法判断

答案： 6. A [解析]$\because$函数$y = mx^{m - 2}-x + 1$是二次函数，$\therefore m - 2 = 2$. 解得$m = 4$. $\therefore$该函数表达式为$y = 4x^{2}-x + 1$. $\because 4 ＞ 0$，$\therefore$抛物线开口向上. 故选A.

7. 在二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 1 $ 的图象中,若 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ x $ 的取值范围是(A).

A.$ x ＜ 2 $
B.$ x ＞ 1 $
C.$ x ＜ 4 $
D.$ x ＞ - 2 $

答案： 7. A [解析]$\because y = x^{2}-4x + 1 = (x - 2)^{2}-3$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 2$. $\because a = 1 ＞ 0$，$\therefore$抛物线开口向上. $\therefore$当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而减小. 故选A.

8. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图2所示,对称轴是直线 $ x = - 1 $,有以下结论:① $ abc ＜ 0 $;② $ 4ac ＜ b^{2} $;③ $ 2a + b = 0 $;④ $ 4a - 2b + c ＞ 0 $.其中正确结论的个数是(B).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 8. B [解析]由图象可知，抛物线开口向下，$\therefore a ＜ 0$. $\because$抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=-1$，$\therefore b = 2a ＜ 0$. $\because$抛物线与$y$轴的交点在$x$轴上方，$\therefore c ＞ 0$. $\therefore abc ＞ 0$，结论①错误. $\because$抛物线与$x$轴有两个交点，$\therefore \Delta = b^{2}-4ac ＞ 0$，则$4ac ＜ b^{2}$，结论②正确. $\because b = 2a$，$\therefore 2a + b = 2a + 2a = 4a \neq 0$，结论③错误. 当$x = -2$时$y ＞ 0$，$\therefore 4a - 2b + c ＞ 0$，结论④正确. 因此②④正确，故选B.