《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

19. (10分)如图6,抛物线经过 $ A(-2,0) $, $ B(10,0) $, $ C(0,-5) $ 三点.
(1)(5分)求抛物线所表示的二次函数的表达式.
(2)(5分)在抛物线的对称轴上有一点 $ P $,使 $ PA + PC $ 的值最小,直接写出点 $ P $ 的坐标.

答案： 19.
(1)$\because$抛物线经过点$C(0,-5)$，$\therefore$可设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+bx - 5$. 把$A(-2,0)$，$B(10,0)$的坐标代入，得$\begin{cases}4a - 2b - 5 = 0\\100a + 10b - 5 = 0\end{cases}$. 解得$\begin{cases}a = \frac{1}{4}\\b = -2\end{cases}$. $\therefore$抛物线所表示的二次函数的表达式为$y = \frac{1}{4}x^{2}-2x - 5$.
(2)点$P$的坐标为$(4,-3)$ [解析]抛物线的对称轴为直线$x = 4$. 连接$BC$，交抛物线的对称轴于点$P$，点$P$即为所求点. 由点$B(10,0)$，$C(0,-5)$的坐标可得直线$BC$的表达式为$y = \frac{1}{2}x - 5$. 当$x = 4$时，$y = -3$. $\therefore$点$P$的坐标为$(4,-3)$.

20. (10分)物理上对抛物线的定义:物体受到一个恒定不变的力的作用,并且初速度的方向与此力不在一条直线上,那么物体运行的轨迹就是一条抛物线.假设投篮时,篮球在空中仅受重力作用,大小方向不变,且初速度方向与重力不共线,可见投篮时篮球在空中运行的轨迹是一条抛物线.小明是一名篮球运动员,有一次他在进行投篮训练时,篮球沿抛物线 $ y = - \frac{1}{5}x^{2} + x + \frac{9}{4} $ 运行,然后准确落入篮筐内,其中 $ x(m) $ 是篮球与小明的水平距离,$ y(m) $ 是篮球行进高度,如图7所示.已知篮筐的中心离地面的高度为 $ 3.05m $.
(1)(5分)篮球出手时,距离地面的高度是多少?
(2)(5分)小明距篮筐中心的水平距离为 $ OH $,求 $ OH $ 的长度.

答案： 20.
(1)当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{5}x^{2}+x + \frac{9}{4}=-\frac{1}{5} × 0^{2}+0 + \frac{9}{4}=\frac{9}{4}(m)$，$\therefore$篮球出手时，距离地面的高度是$\frac{9}{4}m$.
(2)把$y = 3.05$代入$y = -\frac{1}{5}x^{2}+x + \frac{9}{4}$，得$3.05 = -\frac{1}{5}x^{2}+x + \frac{9}{4}$，即$x^{2}-5x + 4 = 0$. 解得$x_{1}=4$，$x_{2}=1$(不合题意，舍去). $\therefore$小明距篮筐中心的水平距离$OH$的长度是$4m$.