《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

16. (10 分)如图 $11$,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BE\perp AC$ 于点 $E$,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $F$.求证:$\triangle ACD\backsim\triangle BFD$.

答案： 16.
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=∠ADB =90°.
∴∠CAD+∠C=90°.
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°.
∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CAD=∠CBE.又
∵∠ADC=∠ADB，
∴△ACD∽△BFD.

17. (12 分)如图 $12$,在 $\triangle ABC$ 的内部取一点 $D$,外部取一点 $E$,使得 $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$.
(1)(6 分)当 $\angle BAD = 30^{\circ}$ 时,求 $\angle CAE$ 的度数.
(2)(6 分)求证:$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$.

答案： 17.
(1)
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴△ABD∽△ACE.
∴∠BAD=∠CAE.又
∵∠BAD=30°，
∴∠CAE=30°.
(2)由
(1)得∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC.
∴∠BAC=∠DAE.又
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$.
∴△ABC∽△ADE.