《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{1}{2}$，则$\angle A$的度数为(C)。

A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

答案： 1. C [解析]
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,sinA = $\frac{1}{2}$,
∴∠A = 30°. 故选C.

2. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin A$的值是(A)。

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2. A [解析]
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,cosA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴∠A = 45°.
∴sinA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故选A.

3. 如图$1$，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$.若$AB=3$，$AC=4$，则$\tan\angle DAC$的值为(D)。

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 3. D [解析]
∵在△ABC中,∠BAC = 90°,
∴∠B + ∠C = 90°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC = 90°.
∴∠C + ∠DAC = 90°,
∴∠B = ∠DAC.
∴tan∠DAC = tanB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{4}{3}$. 故选D.

4. 如图$2$，已知$\angle\alpha$的一边在$x$轴上，另一边经过点$A(2,4)$，顶点$B$的坐标为$(-1,0)$，则$\tan\alpha$的值是(B)。

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 4. B [解析]过点A作AD⊥x轴于点D,则∠ADB = 90°. 又
∵点A的坐标为(2,4), 点B的坐标为(-1,0),
∴AD = 4, BD = 3.
∴tanα = $\frac{AD}{BD}$ = $\frac{4}{3}$. 故选B.

5. 如图$3$，小明为了测量校园里教学楼$AB$的高度，将测角仪$CD$竖直放置在与教学楼水平距离为$20\sqrt{3} m$的地面上.若测角仪的高度是$1.6 m$，测得教学楼的顶部$A$处的仰角为$30^{\circ}$，则教学楼的高度是(A)。

A.$21.6 m$
B.$20 m$
C.$19.5 m$
D.$19.6 m$

答案： 5. A [解析]过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE为矩形.
∵在D处测得教学楼顶部A处的仰角为30°,
∴∠ADE = 30°.
∵DE = BC = 20$\sqrt{3}$m,
∴AE = DE · tan30° = 20 m.
∴AB = AE + BE = AE + CD = 20 + 1.6 = 21.6(m). 故选A.

6. 若关于$x$的方程$x^{2}+2x+2\sin\alpha=0$有两个相等的实数根，则锐角$\alpha$的度数为(D)。

A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 6. D [解析]根据题意得Δ = 2² - 8sinα = 0. 解得sinα = $\frac{1}{2}$.
∴锐角α = 30°. 故选D.

7. 如图$4$，在$4×4$的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，$\triangle ABC$的顶点都在格点上，则$\angle BAC$的正切值是(C)。

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

答案： 7. C [解析]设网格小正方形的边长为1,则AC² = 2² + 4² = 20, BC² = 1² + 2² = 5, AB² = 3² + 4² = 25.
∴AC² + BC² = AB².
∴∠ACB = 90°.
∴tan∠BAC = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{1}{2}$. 故选C.