《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

15. (10分)如图5,一次函数$ y = kx + b $的图象与反比例函数$ y = \frac{m}{x}(m \neq 0) $的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为$ (-1,6) $,点B的坐标为$ (a,-2) $.求反比例函数及一次函数的表达式.

答案： 15. 把点$A(-1,6)$的坐标代入反比例函数$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$，得$6 = \frac{m}{-1}$，解得$m = -6,\therefore$反比例函数的表达式为$y = -\frac{6}{x}$. 将点$B(a,-2)$的坐标代入$y = -\frac{6}{x}$，得$-2 = -\frac{6}{a}$. 解得$a = 3.\therefore$点$B$的坐标为$(3,-2)$. 将点$A(-1,6),B(3,-2)$的坐标分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} -k + b = 6, \\ 3k + b = -2. \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 4. \end{cases}\therefore$一次函数的表达式为$y = -2x + 4$.

16. (10分)如图6,等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为$ (0,0) $,点B的坐标为$ (4,0) $,反比例函数的图象经过点C.求点C的坐标及反比例函数的表达式.

答案： 16. 过点$C$作$CD \perp x$轴，垂足为$D$. 设反比例函数的表达式为$y = \frac{k}{x}$，$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore AC = AB = 4$. 又$\because CD \perp AB$，$\therefore AD = 2$. 根据勾股定理可得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$，$\therefore$点$C$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$. $\because$反比例函数的图象经过点$C$，$\therefore k = 2 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y = \frac{4\sqrt{3}}{x}$.