《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

16. ($10$分)如图$11$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$D$是$AC$边上一点，$\sin\angle BDC=\frac{3}{5}$，且$BC=6$，$AD=4$.求$\tan A$的值.

答案： 16. 在Rt△DBC中,
∵∠C = 90°,sin∠BDC = $\frac{BC}{BD}$ = $\frac{3}{5}$, BC = 6,
∴$\frac{6}{BD}$ = $\frac{3}{5}$. 解得BD = 10. 由勾股定理得CD = 8.
∴AC = AD + CD = 4 + 8 = 12. 在Rt△ABC中,tanA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$.

17. ($12$分)某校数学社团的同学对当地一宝塔的高度进行了测量.如图$12$，他们在$A$处仰望塔顶，测得仰角为$30^{\circ}$，往塔的方向前进$42 m$至$B$处，测得仰角为$60^{\circ}$.若学生的身高忽略不计，求该塔的高度$CD$.(结果保留根号)

答案： 17. 根据题意得∠A = 30°, ∠DBC = 60°, DC⊥AC,
∴∠ADB = ∠DBC - ∠A = 30°.
∴∠ADB = ∠A = 30°.
∴BD = AB = 42 m.
∴CD = BD · sin60° = 42 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 21$\sqrt{3}$(m).
答: 该塔的高度CD为21$\sqrt{3}$m.