《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

18. (12分)如图4,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\gt0)$的图象与一次函数$y = 2x - 2$的图象的交点为$A(m,2)$.
(1)(6分)求反比例函数的表达式.
(2)(6分)设一次函数$y = 2x - 2$的图象与$y$轴交于点$B$,若$P$是$x$轴上一点,且满足$\triangle PAB$的面积是8,请直接写出点$P$的坐标.

答案：
18.
(1)
∵点$A(m,2)$在一次函数$y = 2x - 2$的图象上，
∴$2 = 2m - 2$. 解得$m = 2$.
∴点A的坐标是$(2,2)$. 又
∵点$A(2,2)$在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$2=\frac{k}{2}$. 解得$k = 4$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.
(2)点P的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$. [解析]如图1，设直线AB交$x$轴于点C，过点A作$AD\perp x$轴，垂足为D. 根据一次函数的表达式$y = 2x - 2$可得点B，C的坐标分别为$(0,-2)$，$(1,0)$. 根据题意有$AD = 2$，$OC = 1$，$OB = 2$，则$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PCA}+S_{\triangle PCB}=\frac{1}{2}AD\cdot CP+\frac{1}{2}OB\cdot CP = 2CP = 8$，
∴$CP = 4$. 当点P在点C右边时，点P的坐标为$(5,0)$；当点P在点C左边时，点P的坐标为$(-3,0)$.