《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

18. ($12$分)如图$13$，在矩形$ABCD$中，点$E$在$DC$上，将矩形$ABCD$沿$AE$折叠，点$D$恰好落在$BC$边上的点$F$处.
($6$分)$(1)$当$\sin\angle BAF=\frac{4}{5}$，$AD=5$时，求$BF$的长.
($6$分)$(2)$当$\angle BAF=30^{\circ}$时，试判断$EF$与$AE$的数量关系，并说明理由.

答案： 18.
(1)
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC = AD = 5.
∵矩形ABCD沿直线AE折叠, 顶点D恰好落在BC边上的点F处,
∴△AEF ≌ △AED.
∴AF = AD = 5, EF = DE.
∵在Rt△ABF中,sin∠BAF = $\frac{BF}{AF}$,
∴BF = AF · sin∠BAF = 5 × $\frac{4}{5}$ = 4.
(2) EF = $\frac{1}{2}$AE. 理由:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠D = ∠DAB = 90°.
∵∠BAF = 30°,
∴∠DAF = 60°. 由折叠的性质得△AEF ≌ △AED,
∴∠DAE = ∠EAF = 30°, ∠AFE = ∠D = 90°.
∴EF = AE · sin30° = $\frac{1}{2}$AE.