《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

9. 如果函数 $ y = (a - 3)x^{2} + 2x + 5 $ ($ a $ 为常数)是二次函数,那么 $ a $ 的取值范围是a ≠ 3.

答案： 9. $a \neq 3$ [解析]$\because y = (a - 3)x^{2}+2x + 5$（$a$为常数）是二次函数，$\therefore a - 3 \neq 0$. 解得$a \neq 3$.

10. 若二次函数 $ y = mx^{2} $ 的图象经过点 $ P(-2,8) $,则 $ m = $2.

答案： 10. 2 [解析]$\because$二次函数$y = mx^{2}$的图象经过点$P(-2,8)$，$\therefore 8 = (-2)^{2}m$. 解得$m = 2$.

11. $ y = 2(x - 5)^{2} + 1 $ 的图象是抛物线,当 $ x ＞ 5 $ 时,$ y $ 值随着 $ x $ 值的增大而增大.

答案： 11. 增大 [解析]抛物线$y = 2(x - 5)^{2}+1$的开口向上，对称轴为直线$x = 5$，当$x ＞ 5$时，即在对称轴的右侧，$y$值随着$x$值的增大而增大.

12. 已知抛物线过 $ A(-4,8) $, $ B(2,8) $ 两点,则该抛物线的对称轴是直线x = -1.

答案： 12. $x = -1$ [解析]$\because$抛物线过$A(-4,8)$，$B(2,8)$两点，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = \frac{-4 + 2}{2}=-1$.

13. 如图3,在同一平面直角坐标系中,作出① $ y = cx^{2} $,② $ y = bx^{2} $,③ $ y = ax^{2} $ 的图象,则 $ a $, $ b $, $ c $的大小关系是a ＜ b ＜ c.

答案： 13. $a ＜ b ＜ c$ [解析]$\because 3$个二次函数的图象开口都向上，$\therefore a$，$b$，$c$都为正数. $\because$在$y = mx^{2}$中，$m$的绝对值越大，抛物线开口越小，$\therefore a ＜ b ＜ c$.

14. 如图4,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $, $ B $ 两点,点 $ B $ 的坐标为 $ (8,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,5) $,点 $ D(6,5) $ 在该抛物线上,则点 $ A $ 的坐标是(-2,0).

答案： 14. $(-2,0)$ [解析]$\because$点$C(0,5)$和点$D(6,5)$均在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$上，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = \frac{0 + 6}{2}=3$. $\because$抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$B$的坐标为$(8,0)$，$\therefore$点$A$的横坐标为$3 × 2 - 8 = -2$. $\therefore$点$A$的坐标为$(-2,0)$.

15. (8分)若二次函数 $ y = (m - 1)x^{|m|} $ 的图象开口向下,求 $ m $ 的值.

答案： 15. $\because$函数$y = (m - 1)x^{|m|}$为二次函数，$\therefore \begin{cases}m - 1 \neq 0\\|m| = 2\end{cases}$. 解得$m = \pm 2$. 又$\because$函数图象开口向下，$\therefore m - 1 ＜ 0$. 解得$m ＜ 1$. $\therefore m = -2$.

16. (10分)关于 $ x $ 的函数 $ y = (n - 1)x^{2} + x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,求 $ n $ 的值.

答案： 16. 分两种情况讨论：①当此函数为一次函数时，$n - 1 = 0$. 解得$n = 1$. ②当此函数为二次函数时，由该函数图象与$x$轴只有一个交点，可得$\begin{cases}n - 1 \neq 0\\\Delta = 1^{2}-4(n - 1) \cdot 3 = 0\end{cases}$. 解得$n = \frac{13}{12}$. 综上所述，$n$的值为$1$或$\frac{13}{12}$.