《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

11. 一道斜坡的坡比为$3:4$,某人沿着斜坡向上走了100m,那么他的高度上升了60m.

答案： 11.$60$【解析】设他的高度上升了$3x$m,
∵斜坡的坡比为$3:4$,
∴他水平前进了$4x$m.由勾股定理可得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=100^{2}$.解得$x=20$.
∴$3x=60$.
∴他的高度上升了$60$m.

12. 某中学组织九年级学生进行拔河比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛.若有$x$个班参赛,则可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=15$.

答案： 12.$\frac{1}{2}x(x-1)=15$【解析】设共有$x$个班参赛,根据题意得$\frac{1}{2}x(x-1)=15$.

13. 正方形$ABCD$的边长为$a$,且$a$是方程$x^{2}-10=0$的一个根,则正方形$ABCD$的面积是10.

答案： 13.$10$【解析】由$x^{2}-10=0$,得$x^{2}=10$.
∵$a$是方程$x^{2}-10=0$的一个根,
∴$a^{2}=10$.
∴正方形$ABCD$的面积是$10$.

14. 现规定一种新的运算:$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$,当$\begin{vmatrix}x&3\\x^{2}-1&x\end{vmatrix}=1$时,$x=$$\pm1$.

答案： 14.$\pm1$【解析】由题意,得$\begin{vmatrix}x&\frac{3}{x^{2}-1}\\x^{2}-1&x\end{vmatrix}=x^{2}-3(x^{2}-1)=1$.整理得$x^{2}=1$.解得$x_{1}=1,x_{2}=-1$.
∴$x=\pm1$.

15. (10分)已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-2x-3=0$的两个根.
(1)(5分)求$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$的值.
(2)(5分)求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值.

答案： 15.
(1)
∵$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-2x-3=0$的两个根,
∴$x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=-3$.
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$.

16. (10分)现有一个长方体木箱,底面是一个正方形,高为3m,体积为$48m^{3}$,求该木箱的底面周长.

答案： 16.设这个长方体底面边长为$x$m,根据题意得$3x^{2}=48$.解得$x=4$或$x=-4$(不合题意,舍去).
∴$4x=16$.
∴该木箱的底面周长为$16$m.