《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

16. (10分)如图11,在$\triangle ABC$中,AB=AC,⊙O是$\triangle ABC$的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.求证:E是BC的中点.

答案： 16．
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D,E,F，
∴AD=AF,BD=BE,CE=CF.
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AF，即BD=CF.
∴BE=CE.
∴E是BC的中点.

17. (12分)如图12,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,$\angle E=90^{\circ}$,EC与BA交于点D,BC平分$\angle ABE$,连接OC.
(1)(6分)求证:CD是⊙O的切线.
(2)(6分)若CD=4,⊙O的半径r=3,求BE的长.

答案： 17．
(1)
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=∠CBO.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC.
∴∠OCB=∠CBE.
∴BE//OC.
∴∠DCO=∠E=90°.
∴OC⊥DE.又
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
(2)在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4,OC=OA=3，
∴DO=$\sqrt{CD^2+OC^2}=5$,DB=DO+OB=5+3=8.
∵OC//BE，
∴△DOC∽△DBE.
∴$\frac{OC}{BE}=\frac{DO}{DB}$，即$\frac{3}{BE}=\frac{5}{8}$.解得BE=$\frac{24}{5}$.