《2025年全程检测单元测试卷九年级数学全一册湘教版》

16. (8 分)在反比例函数 $ y = \frac{k - 5}{x} $ 图象的每一支曲线上, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
(1) (4 分)此函数图象位于哪些象限?
(2) (4 分)求 $ k $ 的取值范围.

答案： 16.
(1)
∵在该反比例函数图象的每一支曲线上，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$该函数图象位于第一、第三象限。
(2)由题意得，$k - 5 ＞ 0$。解得$k ＞ 5$。$\therefore k$的取值范围是$k ＞ 5$。

17. (8 分)已知一个反比例函数的图象经过点 $ A(-6,4) $.
(1) (4 分)求这个反比例函数的表达式.
(2) (4 分)判断点 $ B(2,-12) $ 是否在这个反比例函数的图象上, 并说明理由.

答案： 17.
(1)设这个反比例函数的表达式为$y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$。把点$A(-6,4)$的坐标代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = (-6) × 4 = -24$。$\therefore$该反比例函数的表达式为$y = -\frac{24}{x}$。
(2)点$B(2,-12)$在这个函数的图象上。理由：在$y = -\frac{24}{x}$中，当$x = 2$时，$y = -\frac{24}{2} = -12$，$\therefore$点$B(2,-12)$在这个函数的图象上。

18. (10 分)如图 6, 已知 $ A(2,4), B(a,-2) $ 是一次函数 $ y = mx + n $ 的图象和反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象的两个交点, 直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ C $.
(1) (5 分)求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) (5 分)求 $ \triangle AOC $ 的面积.

答案： 18.
(1)
∵点$A(2,4)$是一次函数$y = mx + n$的图象和反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象的交点，$\therefore 4 = \frac{k}{2}$。解得$k = 8$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y = \frac{8}{x}$。又
∵点$B(a,-2)$在$y = \frac{8}{x}$上，$\therefore -2 = \frac{8}{a}$。解得$a = -4$。$\therefore$点B的坐标为$(-4,-2)$。把点$A(2,4)$，$B(-4,-2)$的坐标分别代入$y = mx + n$，得$\begin{cases}-4m + n = -2, \\2m + n = 4.\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1, \\n = 2.\end{cases}$ $\therefore$一次函数的表达式为$y = x + 2$。
(2)由
(1)得一次函数的表达式为$y = x + 2$，当$y = 0$时，$x + 2 = 0$。解得$x = -2$。$\therefore$点C坐标为$(-2,0)$。$\therefore OC = 2$，$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。