《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

1. (南召县期末)如图,$AB = AC$,$CA平分∠BCD$,点$E在BC$上,且$∠BAC = ∠EAD = 90^{\circ}$。求证：$BE = CD$。

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠B=∠ACD.
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∴△BAE≌△CAD(ASA)，
∴BE=CD.

2. (郑州校级月考)如图,$\triangle ABC和\triangle ADE$是等边三角形。求证：$BD = CE$。

答案： 证明：
∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE.

3. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$∠CBA = 90^{\circ}$,点$D是AB$延长线上的一点,点$E在BC$上,连结$DE并延长交AC于点F$,$EF = FC$,求证：$AF = DF$。

答案： 证明：
∵EF=FC，
∴∠FEC=∠C.
∵∠BED=∠FEC，
∴∠C=∠BED.
∵∠CBA=∠CBD=90°，
∴∠D+∠BED=∠D+∠C=90°.
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠D，
∴AF=DF.

4. 如图,已知在$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC = 90^{\circ}$,在$AB上取点D$,使得$AD = CD$,若$CD// BE$,求证：$AB = BE$。

答案： 证明：
∵AD=CD，
∴∠A=∠DCA.又
∵CD//BE，
∴∠DCA=∠E，
∴∠A=∠E，
∴AB=BE.

5. (太康县期末)如图,在$\triangle ABC$中,点$D是BC$边上的一点,$AB = DB$,$BE平分∠ABC$,交$AC边于点E$,连结$DE$。若$∠A = 100^{\circ}$,$∠C = 50^{\circ}$,求证：$ED = DC$。

答案： 证明：
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE. 又
∵AB=DB，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠BDE=∠A=100°.
∵∠C=50°，
∴∠DEC=∠BDE-∠C=100°-50°=50°，
∴∠DEC=∠C，
∴ED=DC.