《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

11. (河北省中考)四边形$ABCD$的边长如图所示,对角线$AC$的长度随四边形形状的改变而变化。当$\triangle ABC$为等腰三角形时,对角线$AC$的长为(B)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： B

12. (贵州省中考)如图,在$\triangle ABC$中,以点$A$为圆心,线段$AB$的长为半径画弧,交$BC于点D$,连接$AD$。若$AB = 5$,则$AD$的长为5。

答案： 5

13. 如图,在$\triangle ABC$中,若$AB = AC$,$AD = BD$,$\angle CAD = 24^{\circ}$,则$\angle C = $52$^{\circ}$。

答案： 52

14. 如图,已知$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$M是BC$的中点,$D$,$E分别是AB$,$AC$边上的点,且$AD = AE$,求证：$MD = ME$。

答案： 证明：连结AM.
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM平分∠BAC，
∴∠DAM=∠EAM.在△ADM和△AEM中，$\left\{\begin{array}{l}AD=AE,\\ ∠DAM=∠EAM,\\ AM=AM,\end{array}\right.$
∴△ADM≌△AEM(SAS)，
∴MD=ME.

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD \perp BC$,垂足为$D$,$E$,$F分别是AB$,$AC$的延长线上的点,且$BE = CF$。求证：$DE = DF$。

答案： 证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠DAE=∠DAF.又
∵BE=CF，
∴AB+BE=AC+CF，即AE=AF.在△ADE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}AE=AF,\\ ∠DAE=∠DAF,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴DE=DF.

16. 【核心素养·推理能力】如图,点$P为等边三角形ABC的边AB$上一点,$Q为BC$延长线上一点,$AP = CQ$,$PQ交AC于点D$。
(1)求证：$DP = DQ$；
(2)过点$P作PE \perp AC于点E$,若$BC = 4$,求$DE$的长。

答案：
(1)证明：过点P作PM//BC，交AC于点M，则∠DPM=∠Q，∠APM=∠B，∠AMP=∠ACB.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∴∠APM=∠AMP=60°.
∴△APM是等边三角形.
∴AP=PM.又
∵AP=CQ，
∴PM=CQ.在△DPM和△DQC中，$\left\{\begin{array}{l}∠PDM=∠QDC,\\ ∠DPM=∠Q,\\ PM=QC,\end{array}\right.$
∴△DPM≌△DQC(AAS).
∴DP=DQ.
(2)解：
∵△DPM≌△DQC，
∴DM=DC.
∵PE⊥AC，△APM是等边三角形，
∴AE=EM.
∴DE=DM+EM=$\frac{1}{2}$AC.
∵在等边三角形ABC中，BC=4，
∴AC=4.
∴DE=$\frac{1}{2}$×4=2.