《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

1. 现在定义一种运算,其规律为 $ a * b = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $。根据此规则,如果 $ ( x + 2 ) * 5 = 0 $,那么 $ x = $-7 或 3。

答案： -7 或 3

2. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 $ a $、$ b $,都有 $ a * b = \sqrt [ 3 ] { b } + 1 $。例如,$ 4 * 8 = \sqrt [ 3 ] { 8 } + 1 = 3 $,那么 $ 15 * 27 = $4。

答案： 4

3. 定义一种运算“※”,其规则为：当 $ a \geqslant b $ 时,$ a ※ b = b ^ { 3 } $；当 $ a ＜ b $ 时,$ a ※ b = b ^ { 2 } $。根据这个规则,方程 $ 3 ※ x = 27 $ 的解是3 或 $\sqrt{27}$。

答案： 3 或 $\sqrt{27}$

4. (衡阳船山中学单元卷)对于任意正数 $ a $、$ b $ 定义运算“☆”为：$ a ☆ b = \left\{ \begin{array} { l } { \sqrt { a } + \sqrt { b } ( a ＜ b ), } \\ { \sqrt { a } - \sqrt { b } ( a \geqslant b ), } \end{array} \right. $ 如 $ 2 ☆ 1 = \sqrt { 2 } - 1 $,则 $ ( 9 ☆ 4 ) ☆ 2 = $$1+\sqrt{2}$。

答案： $1+\sqrt{2}$

5. 观察分析数据,寻找规律：$ 0 $,$ - \sqrt { 5 } $,$ \sqrt { 10 } $,$ - \sqrt { 15 } $,$ \sqrt { 20 } $,$ - 5 $,…,则第 $ 101 $ 个数据应是(B)
A.$ - \sqrt { 500 } $
B.$ \sqrt { 500 } $
C.$ - \sqrt { 505 } $
D.$ \sqrt { 505 } $

答案： B

6. 设 $ [ x ] $ 表示最接近 $ x $ 的整数 $ ( x \neq n + 0.5, n $ 为整数),则 $ [ \sqrt { 1 × 2 } ] + [ \sqrt { 2 × 3 } ] + [ \sqrt { 3 × 4 } ] + … + [ \sqrt { 100 × 101 } ] = $(C)
A.$ 5151 $
B.$ 5150 $
C.$ 5050 $
D.$ 5049 $

答案： C

7. 观察下列各式的规律：① $ 2 \sqrt { \dfrac { 2 } { 3 } } = \sqrt { 2 + \dfrac { 2 } { 3 } } $；② $ 3 \sqrt { \dfrac { 3 } { 8 } } = \sqrt { 3 + \dfrac { 3 } { 8 } } $；③ $ 4 \sqrt { \dfrac { 4 } { 15 } } = \sqrt { 4 + \dfrac { 4 } { 15 } } $,…,若 $ 10 \sqrt { \dfrac { 10 } { a } } = \sqrt { 10 + \dfrac { 10 } { a } } $,则 $ a = $99。

答案： 99

8. 观察计算结果：① $ \sqrt { 1 ^ { 3 } } $；② $ \sqrt { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } } $；③ $ \sqrt { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } } $；④ $ \sqrt { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } } $,用你发现的规律直接写出式子的值 $ \sqrt { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + … … + 20 ^ { 3 } } = $210。

答案： 210

9. (南阳市实验中学单元卷)观察下列各式：
$ \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } = 1 + \dfrac { 1 } { 1 } - \dfrac { 1 } { 2 } = 1 \dfrac { 1 } { 2 } $；
$ \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } = 1 + \dfrac { 1 } { 2 } - \dfrac { 1 } { 3 } = 1 \dfrac { 1 } { 6 } $；
$ \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 4 ^ { 2 } } } = 1 + \dfrac { 1 } { 3 } - \dfrac { 1 } { 4 } = 1 \dfrac { 1 } { 12 } $。
请你根据上面三个等式提供的信息猜想：
(1)$ \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { 4 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 5 ^ { 2 } } } = $$1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律写出 $ n $($ n $ 为正整数)表示的等式：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1\frac{1}{n(n+1)}$；
(3)利用上述规律计算 $ \sqrt { \dfrac { 65 } { 64 } + \dfrac { 1 } { 81 } } $(仿照上式写出过程)。
解：原式=$\sqrt{1+\frac{1}{64}+\frac{1}{81}}=\sqrt{1+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9^2}}=1+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1\frac{1}{72}$.

答案： （1）$1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1\frac{1}{n(n+1)}$ （3）解：原式=$\sqrt{1+\frac{1}{64}+\frac{1}{81}}=\sqrt{1+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9^2}}=1+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1\frac{1}{72}$.