《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= \angle B= 60^{\circ},AB= AC$,点$D$,$E分别是边BC$,$AB$所在直线上的动点,且$BD= AE$,$AD与CE相交于点F$. 求证：$\angle DFC= 60^{\circ}$.

答案： 证明：在△ABD 和△CAE 中，
{AB=CA，
∠B=∠BAC，
∴ △ABD ≌
BD=AE，
△CAE(SAS).
∴∠BAD=∠ACE.
∴∠DFC=∠ACE+∠FAC=
∠BAD+∠FAC=∠BAC=60°.

2. 如图,$\triangle ABC$,$\triangle CDE$均为等腰直角三角形,$\angle ACB= \angle DCE= 90^{\circ}$,点$E在AB$上. 求证：$\triangle CDA\cong \triangle CEB$.

答案： 证明：
∵△ABC,△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴
CE=CD，BC=AC，∠ACB-
∠ACE=∠DCE-∠ACE，即
∠ECB=∠DCA. 在△CDA 和
△CEB 中，{AC=BC，
∠DCA=∠ECB，
∴
CD=CE，
△CDA≌△CEB(SAS).

3. 如图,$\triangle ABC$,$\triangle CDE$均为等边三角形,连结$BD$,$AE交于点O$,$BC与AE交于点P$. 求证：$\angle AOB= 60^{\circ}$.

答案： 证明：
∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+
∠BCE=∠DCE+∠BCE，即
∠ACE=∠BCD. 在△ACE 和
△BCD 中，{AC=BC，
∠ACE=∠BCD，
∴
CE=CD，
△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠CAE
=∠CBD. 又
∵∠APC=∠BPO，
∴
∠AOB=∠ACB=60°.

4. 以点$A$为顶点作两个等腰直角三角形($\triangle ABC$,$\triangle ADE$),如图所示放置,使得一直角边重合,连结$BD$,$CE$.
(1)求证：$BD= CE$；
(2)延长$BD$,交$CE于点F$,求$\angle BFC$的度数.

答案： （1）证明：
∵△ABC,△ADE 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠DAB=
∠EAC=90°，AD=AE. 在△ADB
和△AEC 中，{AD=AE，
∠DAB=∠EAC，
∴
AB=AC，
△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=
CE. （2）解：
∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE=∠ABD. 而在△CDF
中，∠BFC=180°-∠ACE-
∠CDF，∠CDF=∠BDA，
∴∠BFC
=180°-∠ABD-∠BDA=∠DAB
=90°.