《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

1. 如图,在四边形 $ ADEC $ 中,$ \angle ACE = 90° $,$ DE \perp CD $,且 $ AC = AD = CE $。求证：$ CD = 2DE $。

答案：
证明:如图,作 AM⊥CD 于 M,则 CM=MD=$\frac{1}{2}$CD,∠1=∠2.
∵∠ACE=90°,
∴∠3+∠ACM=90°,又
∵∠1+∠ACM=90°,
∴∠1=∠3.又
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3.又
∵∠AMD=∠CDE=90°,AD=CE,
∴△ADM≌△CED (AAS),
∴DM=ED,
∴CD=2DM =2DE.

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 为 $ BC $ 边的中点,过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $,$ DF \perp AC $,垂足分别为点 $ E $,$ F $。
(1) 求证：$ DE = DF $；
(2) 若 $ \angle A = 90° $,图中与 $ DE $ 相等的线段有哪些(不说明理由)?

答案：
(1)证明:连结 AD.
∵AB=AC,D 是 BC 的中点,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,又
∵AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)解:若∠BAC=90°,图中与 DE 相等的线段有 AE,AF,BE,CF,DF.

3. 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 120° $,$ AD \perp BC $ 于 $ D $,且 $ AB + BD = DC $,求 $ \angle C $ 的度数。

答案： 解:延长 DB 至 F,使 BF=AB,连结 AF,则∠BAF=∠F,AB+BD=BF +BD=DF=DC.又
∵AD⊥BC,
∴AF=AC,
∴∠C=∠F=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC - ∠C),
∴∠C =20°.

4. 如图,$ CE $,$ CB $ 分别是 $ \triangle ABC $,$ \triangle ADC $ 的中线,且 $ AB = AC $。求证：$ CD = 2CE $。

答案： 证明:延长 CE 到点 F,使 EF=CE,连结 FB,则 CF=2CE.
∵CE 是△ABC 的中线,
∴AE=BE.在△BEF 和△AEC 中,
$\begin{cases} BE=AE,\\ ∠BEF=∠AEC,\\ EF=EC, \end{cases}$
∴△BEF ≌△AEC(SAS).
∴∠EBF=∠A,BF =AC.又
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,BF=AB.
∴∠CBD=∠A +∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.
∵CB 是△ADC 的中线,
∴AB=BD.又
∵AB=BF,
∴BF=BD. 在△CBF 与△CBD 中,
$\begin{cases} CB=CB,\\ ∠CBF=∠CBD,\\ BF=BD, \end{cases}$
∴△CBF ≌△CBD(SAS).
∴CF=CD.
∴CD=2CE.