《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 108^{\circ}$,$\angle ADB = 72^{\circ}$,$DE平分\angle ADB$,则图中等腰三角形的个数是(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

10. (成都外国语学校月考)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC和\angle ACB的平分线交于点E$,过点$E作MN// BC交AB于点M$,交$AC于点N$,若$BM + CN = 9$,则线段$MN$的长为(D)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： D

11. 如图,已知$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,$CE = CD$,$DB = DE$,$\angle E = 30^{\circ}$.求证：$\triangle ABC$是等边三角形.

答案： 证明：
∵ DB=DE，
∴∠DBC=∠E=30°.
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=60°.
∵ CE=CD，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠ACB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∴∠A=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC 是等边三角形.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是AB$上一点,过点$D作DE\perp BC于点E$,并与$CA的延长线相交于点F$,试判断$\triangle ADF$的形状,并说明理由.

答案： 解：△ADF 是等腰三角形. 理由如下：
∵ AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠F，
∴AF=AD，
∴△ADF 是等腰三角形.

13. 【核心素养·推理能力】如图,点$C为线段AB$上一点,$\triangle ACM$,$\triangle CBN$都是等边三角形,$AN交MC于点E$,$BM交CN于点F$,连结$EF$.求证：
(1)$AN = BM$；
(2)$\triangle CEF$为等边三角形.

答案： （1）证明：
∵△ACM，△CBN 都是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB. 在△ACN 和△MCB 中，{AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=BC,
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN=BM. （2）
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB. 又
∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE. 在△CAE 和△CMF 中，{∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF,
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF 为等腰三角形. 又
∵∠ECF=60°，
∴△CEF 为等边三角形.