《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

【直接应用】根据两数和的平方公式填空：
(1)$(x + 1)^2 = (x)^2 + 2×(\underline{\quad\quad}x)×(\underline{\quad\quad}1) + (\underline{\quad\quad}1)^2 = $______x²+2x+1；
(2)$x^2 + 10x + 25 = $(x+5)²。

答案：
(1)x x 1 1 x²+2x+1
(2)(x+5)²

【变式 1】利用两数和(差)的平方的非负性求值。
若$a^2 - 4a + b^2 + 6b + 13 = 0$,求$a$,$b$的值。

答案： 解:根据题意,得a²-4a+4+b²+6b+9=0.(a-2)²+(b+3)²=0.
∴a=2,b=-3.

【变式 2】已知$a - b = 2$,$b - c = 1$,求$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$的值。

答案： 解:由a-b=2,得(a-b)²=4,即a²-2ab+b²=4.①,由b-c=1,得(b-c)²=1,即b²-2bc+c²=1.②,由a-b+b-c=3,得a-c=3.(a-c)²=9,即a²-2ac+c²=9.③,
∴①+②+③,得2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=14.
∴a²+b²+c²-ab-ac-bc=7.

【变式 3】$x^2 + 8x + 17$的最小值是1。

答案： 1

【阅读理解】由多项式乘法：$(x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$,示例：分解因式：$x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2 + 3)x + 2×3 = (x + 2)(x + 3)$。
【问题解决】分解因式：
①$x^2 + 5x + 4 = $(x+1)(x+4)；
②$x^2 - 6x + 8 = $(x-4)(x-2)；
③$x^2 + 4x - 12 = $(x-2)(x+6)。

答案： ①(x+1)(x+4) ②(x-4)(x-2) ③(x-2)(x+6)

【拓展应用】阅读多项式$2x^2 - x - 3$的分解方法：
Ⅰ. 二次项系数$2 = 1×2$；
Ⅱ. 常数项$-3 = -1×3 = 1×(-3)$,验算：“交叉相乘之和”；

Ⅲ. 发现 C 的“交叉相乘之和”的结果$1×(-3) + 2×1 = -1$,等于一次项系数$-1$。
即：$(x + 1)(2x - 3) = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3$,则$2x^2 - x - 3 = (x + 1)(2x - 3)$。
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法。仿照以上方法,分解因式：
①$3x^2 + 5x - 12 = $(x+3)(3x-4)；
②$2x^2 - 5x - 3 = $(x-3)(2x+1)；
③$6x^2 + 5x - 6 = $(3x-2)(2x+3)。

答案： ①(x+3)(3x-4) ②(x-3)(2x+1) ③(3x-2)(2x+3)