《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

已知 $(x + y)^2 = 1$,$(x - y)^2 = 49$,求 $x^2 + y^2$ 与 $xy$ 的值。

答案： 解:
∵$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=1$,①, $(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=49$,②,
∴由①+②得:$x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy+y^{2}=1+49$,$2(x^{2}+y^{2})=50$,$x^{2}+y^{2}=25$,由①-②得:$x^{2}+2xy+y^{2}-(x^{2}-2xy+y^{2})=1-49$,$4xy=-48$,$xy=-12$.

1. 已知 $(m - n)^2 = 40$,$(m + n)^2 = 4000$,则 $m^2 + n^2$ 的值为2020。

答案： 2020

2. 已知 $x - y = 9$,$xy = 5$,求 $x^2 + y^2$ 的值。

答案： 解:由$x-y=9$得:$(x-y)^{2}=9^{2}$,$x^{2}-2xy+y^{2}=81$,
∴$x^{2}+y^{2}=81+2xy=81+2×5=91$.

3. 若 $a + b = 1$,$a^2 + b^2 = 13$,则 $ab= $(B)
A.$6$
B.$-6$
C.$\pm 6$
D.$-3$

答案： B

4. 已知 $a - b = 5$,$a^2 + b^2 = 9$,求 $ab$ 的值。

答案： 解:由$(a-b)^{2}=5^{2}$得:$a^{2}+b^{2}-2ab=25$,
∴$9-2ab=25$,
∴$ab=-8$.

5. 已知实数 $a$,$b$ 满足 $a - b = 1$,$ab = \frac{3}{4}$,则 $a + b=$(C)
A.$2$
B.$4$
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$

答案： C

6. 已知 $x^2 + y^2 = 17$,$x + y = 5$,求 $x - y$ 的值。

答案： 解:由$(x+y)^{2}=5^{2}$得:$x^{2}+2xy+y^{2}=25$.又
∵$x^{2}+y^{2}=17$,
∴$2xy=8$.
∵$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=17-8=9$,
∴$x-y=±3$.

7. 已知 $(x - 19)(x - 21) = 12$,求 $(x - 19)^2 + (x - 21)^2$ 的值。

答案： 解:令$x-19=a$,$x-21=b$,则$a-b=2$,$ab=12$,
∴$a^{2}-2ab+b^{2}=4$,$a^{2}+b^{2}=4+2ab=4+24=28$,
∴$(x-19)^{2}+(x-21)^{2}=28$.

8. (广安市友谊中学单元卷)已知 $(n - 2025)^2 + (2026 - n)^2 = 1$。求 $(n - 2025)(2026 - n)$ 的值。

答案： 解:令$n-2025=x$,$2026-n=y$,
∴$x^{2}+y^{2}=1$,$x+y=1$,
∴$x^{2}+y^{2}+2xy=1$.
∴$1+2xy=1$,$2xy=0$,$xy=0$,
∴$(n-2025)(2026-n)=0$.