《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AE$ 是经过点 $A$ 的一条直线,且 $B$,$C$ 在 $AE$ 的两侧,$BD\perp AE$ 于点 $D$,$CE\perp AE$ 于点 $E$,$AD = CE$,则 $\angle BAC$ 的度数是(C)

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： C

10. (内江市期末)如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 10$,$BC = 5$,线段 $PQ = AB$,$P$,$Q$ 两点分别在 $AC$ 和过点 $A$ 且垂直于 $AC$ 的射线 $AO$ 上运动,当 $AP= $5 或 10时,$\triangle ABC$ 和 $\triangle PQA$ 全等.

答案： 5 或 10

11. (陕西省中考)如图,$BE\perp AC$,$CD\perp AB$,垂足分别为点 $E$,$D$,$BE = CD$.求证：$BD = CE$.

答案： 证明:
∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠CEB=∠BDC=90°.在 Rt △CBE 与 Rt △BCD 中,{BC=CB,BE=CD,
∴Rt△CBE≌Rt△BCD(HL).
∴BD=CE.

12. (教材第 85 页练习第 3 题变式)如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度 $AC$ 与右边滑梯水平方向的长度 $DF$ 相等,$\angle CBA = 32^{\circ}$,求 $\angle EFD$ 的度数.

答案： 解:由题意,得在 Rt△ABC 和 Rt △DEF 中,{BC=EF,AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL),
∴∠BCA=∠EFD.
∵∠CBA=32°,
∴∠BCA=58°,
∴∠EFD=∠BCA=58°.

13. 【核心素养·几何直观】已知：点 $O$ 到 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$,$AC$ 所在直线的距离相等,且 $OB = OC$.
(1)如图 1,若点 $O$ 在边 $BC$ 上,求证：$\angle B= \angle C$；
(2)如图 2,若点 $O$ 在 $\triangle ABC$ 的内部,求证：$\angle ABO= \angle ACO$.
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答案：
(1)证明:过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,作 OF⊥AC 于点 F,则∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.在 Rt △BOE 和 Rt △COF 中,{OB=OC,OE=OF,
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL).
∴∠B=∠C.
(2)过点 O 分别作 OE⊥AB,OF⊥AC,E,F 分别是垂足,则∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.在 Rt △BOE 和 Rt △COF 中,{OB=OC,OE=OF,
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL).
∴∠EBO=∠FCO,即∠ABO=∠ACO.