《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

1. 课堂上,老师出了一道题：比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}与\frac{2}{3}$的大小.
小明的解法如下：
解：$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}= \frac{\sqrt{19}-2-2}{3}= \frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
$\because19＞16$,$\therefore\sqrt{19}＞4$.
$\therefore\sqrt{19}-4＞0$.
$\therefore\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$. $\therefore\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请利用上述方法比较实数$\frac{\sqrt{94}-3}{9}与\frac{2}{3}$的大小.

答案： 解：$\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{94}-9}{9}$.
∵94＞81，
∴$\sqrt{94}＞9$.
∴$\sqrt{94}-9＞0$.
∴$\frac{\sqrt{94}-9}{9}＞0$.
∴$\frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$.

【变式训练】
2. 比较$\frac{\sqrt{3}-1}{5}与\frac{1}{5}$的大小.

答案： 解：
∵$\frac{\sqrt{3}-1}{5}-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{3}-2}{5}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{5}＜0$，
∴$\frac{\sqrt{3}-1}{5}＜\frac{1}{5}$.

1. 【阅读理解】先阅读下面的文字,再解答问题.
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,所以$\sqrt{7}的整数部分为2$,小数部分为$\sqrt{7}-2$.
(1)$\sqrt{15}$的整数部分是3.
(2)已知$8-\sqrt{15}的小数部分是m$,$8+\sqrt{15}的小数部分是n$,且$(x - 1)^2= m + n$,请求出满足条件的$x$的值.

答案：
(1)3；
(2)解：
∵$3＜\sqrt{15}＜4$，
∴-4$＜-\sqrt{15}＜-3$，
∴$4＜8-\sqrt{15}＜5$，
∴$8-\sqrt{15}$的小数部分$m=8-\sqrt{15}-4=4-\sqrt{15}$.同理可得$11＜8+\sqrt{15}＜12$，
∴$8+\sqrt{15}$的小数部分n$=8+\sqrt{15}-11=\sqrt{15}-3$，
∴$(x-1)^2=4-\sqrt{15}+\sqrt{15}-3=1$，解得x=0或x=2.

【变式训练】
2. 【类比思想】先阅读理解,再回答问题.
$\because\sqrt{1^2+1}= \sqrt{2}$,且$1＜\sqrt{2}＜2$,
$\therefore\sqrt{1^2+1}的整数部分是1$；
$\because\sqrt{2^2+2}= \sqrt{6}$,且$2＜\sqrt{6}＜3$.
$\therefore\sqrt{2^2+2}的整数部分是2$；
$\because\sqrt{3^2+3}= \sqrt{12}$,且$3＜\sqrt{12}＜4$,
$\therefore\sqrt{3^2+3}的整数部分是3$.
以此类推,我们会发现：$\sqrt{n^2+n}$($n$为正整数)的整数部分是n,请说明理由.

答案： n；解：理由如下：
∵n为正整数，
∴$n^2＜n^2+n$，$n^2+n=n(n+1)＜(n+1)^2$，
∴$n^2＜n^2+n＜(n+1)^2$，即$n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1$，
∴$\sqrt{n^2+n}$的整数部分为n.