《2025年课堂点睛八年级数学上册华师大版》

6. 如图,$AB// CD$,$E是CD$上一点,$BE交AD于点F$,$EF= BF$. 求证:$AF= DF$.

答案： 证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠FED.
在△ABF和△DEF中，
{∠B=∠FED，
BF=EF，
∴△ABF≌
∠AFB=∠DFE，
△DEF（ASA），
∴AF=DF.

7. 两块完全相同的三角形纸板$ABC和DEF$,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点$O为边AC和DF$的交点,不重叠的两部分$\triangle AOF与\triangle DOC$是否全等? 为什么?

答案： 解：全等.理由如下：
∵两块三角形
纸板完全相同，
∴BC=BF，AB=
BD，∠A=∠D.
∴AB-BF=BD-
BC，即AF=DC.在△AOF和
△DOC中，{∠AOF=∠DOC，
∠A=∠D，
∴
AF=DC，
△AOF≌△DOC（AAS）.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= CB$,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$F为AB$延长线上一点,点$E在BC$上,且$AE= CF$.
(1)求证:$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CBF$;
(2)判断$AE与CF$的位置关系.

答案： （1）证明：在Rt△ABE和Rt△CBF
中，{AE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt
AB=CB，
△CBF（HL）.（2）解：延长AE交
CF于点M.
∵Rt△ABE≌Rt
△CBF，
∴∠FCB=∠BAE.
∵
∠CBF=90°，
∴∠FCB+∠CFB=
90°.
∴∠BAE+∠CFB=90°，则
∠AMF=90°.
∴AE⊥CF.

9. 如图,在正方形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边AB$,$BC$上,$AF= DE$,$AF和DE交于点G$. 观察图形,写出图中所有与$\angle AED$相等的角($\angle CDE$除外),并选择其中任意一个角加以证明.

答案： 解：∠DAG，∠AFB与∠AED相等，
选择∠DAG=∠AED.证明如下：
∵
四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB
=∠B=90°，DA=AB.在Rt△DAE
和Rt△ABF中，{DE=AF，
∴Rt
DA=AB，
△DAE≌Rt△ABF（HL）.
∴∠ADE
=∠BAF.
∵∠DAG+∠BAF=
90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴
∠DAG=∠AED.