《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

8. 在平面直角坐标系中，设二次函数$y = - \frac{1}{2}(x - 2m)^{2} + 1 - m$（$m$是实数）.
(1)当$m = 2$时，若点$A(6,n)$在该二次函数的图象上，求$n$的值.
(2)小明说二次函数图象的顶点可以是$(2, - 1)$，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点$P(a + 1,c),Q(4m - 7 + a,c)$都在该二次函数的图象上，求证：$c \leq - \frac{7}{8}$.

答案：
(1)解：当$m=2$时,$y=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}-1$.
∵点$A(6,n)$在该二次函数的图象上,
∴$n=-\frac{1}{2}×(6-4)^{2}-1=-3$.
(2)解：若顶点是$(2,-1)$,则$2m=2$①,$1-m=-1$②,
由①得$m=1$,由②得$m=2$,故小明的说法错误.
(3)证明：
∵点$P(a+1,c)$,$Q(4m-7+a,c)$都在该二次函数的图象上,
∴对称轴为直线$x=\frac{a+1+4m-7+a}{2}=a+2m-3$,
∴$a+2m-3=2m$,
∴$a=3$,
∴$P(4,c)$,
∴$c=-\frac{1}{2}(4-2m)^{2}+1-m=-2(m-\frac{7}{4})^{2}-\frac{7}{8}$,
∴$c\leq-\frac{7}{8}$.

9. 数形结合是解决数学问题的重要方法.小爱同学学习二次函数后，对函数$y = - (|x| - 1)^{2}$进行了探究.通过列表、描点、连线步骤，得到如图所示的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题.
(1)观察探究
①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称(答案不唯一).
②方程$- (|x| - 1)^{2} = - 1$的解为x=-2或x=0或x=2.
③若

方

程$- (|x| - 1)^{2} = a$有四个实数根，则$a$的取值范围是-1＜a＜0.
(2)延伸思考
①将函数$y = - (|x| - 1)^{2}$的图象经过怎样的平移可得到函数$y_{1} = - (|x - 2| - 1)^{2} + 3$的图象？画出平移后的图象.
②观察平移后的图象，当$2 \leq y_{1} \leq 3$时，直接写出自变量$x$的取值范围：$0\leq x\leq4$.

答案：

(1)①函数图象关于y轴对称(答案不唯一)
②x=-2或x=0或x=2
③-1＜a＜0
(2)①如图,将原函数图象向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度.

$②0\leq x\leq4$