《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

1.计算：$\sin^2 45^{\circ} + \cos 30^{\circ} · \tan 60^{\circ} =$2.

答案： 2

2.计算：$\frac {\sin 30^{\circ}} {\cos 60^{\circ}} - \tan 45^{\circ} + \sqrt {3} \tan 30^{\circ} =$
1.

答案： 1

3.如图所示，一棵大树被龙卷风袭击后在离地面若干米处折断倒下，$B$为折断处最高点，树顶$A$落在离树根$C$的$12\ m$处，测得$\angle BAC = 30^{\circ}$，求$BC$的长.(结果保留根号）

答案： 解：
∵ $BC \perp AC$，
∴ $\angle BCA = 90°$.
在 Rt△ABC 中，
$\tan \angle BAC = \frac{BC}{AC}$,
∴ $BC = AC · \tan \angle BAC$
$= 12 × \tan 30° = 12 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ (m).

4.已知$\sin(\alpha - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$($\alpha$为锐角).
(1)求$\alpha$的值.
(2)计算：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

答案： 解：
(1)
∵ $\sin(\alpha - 15°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\alpha$ 为锐角，
∴ $\alpha - 15° = 45°$,
∴ $\alpha = 60°$.
(2) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2 60° + \cos^2 60° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$.

5.如图所示，在四边形$ABCD$中，$\angle A =$$\angle C = 9 0 ^ { \circ } , \angle A B C = 6 0 ^ { \circ } , A D = 4$，$CD = 1 0 ,$求$BD$的长.

答案： 解：如图，延长 BA, CD 交于点 E.
∵ $\angle C = 90°$, $\angle ABC = 60°$,
∴ $\angle E = 30°$,
∴ $DE = 2AD = 8$,
∴ $CE = 10 + 8 = 18$.
∵ $\tan \angle ABC = \frac{CE}{BC}$,
∴ $\tan 60° = \frac{18}{BC}$,
∴ $BC = 6\sqrt{3}$.
在 Rt△BCD 中，由勾股定理，
得 $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 10^2} = 4\sqrt{13}$.

6.如图所示，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 1 5 0 ^ { \circ }$，$AC = 4 , \tan B = \frac { 1 } { 8 }$.
(1)求$BC$的长.
(2)利用此图形求$\tan 1 5 ^ { \circ }$的值.(结果精确到$0.1$;参考数据：$\sqrt { 2 } \approx 1 . 4$，$\sqrt { 3 } \approx 1 . 7 , \sqrt { 5 } \approx 2 . 2 )$

答案： 解：
(1) 如图，过点 A 作 $AD \perp BC$，交 BC 的延长线于点 D.
∵ $\angle ACB = 150°$,
∴ $\angle ACD = 30°$.
在 Rt△ADC 中，$AC = 4$,
∴ $AD = \frac{1}{2} AC = 2$, $CD = AC · \cos 30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
在 Rt△ABD 中，
∵ $\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{2}{BD} = \frac{1}{8}$,
∴ $BD = 16$,
∴ $BC = BD - CD = 16 - 2\sqrt{3}$.
(2) 如图，在 BC 边上取一点 M，使得 $CM = AC$，连接 AM.
∵ $\angle ACB = 150°$,
∴ $\angle AMC = \angle MAC = 15°$,
∴ $\tan 15° = \tan \angle AMD = \frac{AD}{MD} = \frac{2}{4 + 2\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.3$.