《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

7. 如图所示，连接四边形 $ABCD$ 各边的中点，得到四边形 $EFGH$，只要添加条件$AC = BD$，就能保证四边形 $EFGH$ 是菱形.

答案： $AC = BD$

8. 如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，$AD = 18$，$AB = 24$. $E$ 为边 $DC$ 上的一个动点，$\triangle AD'E$ 与 $\triangle ADE$ 关于直线 $AE$ 对称. 当 $\triangle CD'E$ 为直角三角形时，$DE$ 的长为9 或 18.

答案： 9 或 18

9. 如图所示，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$CD$ 上，且 $DE = CF$，$BE$ 与 $AF$ 相交于点 $G$. 求证：$BE = AF$.

答案： 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴$\angle BAE = \angle ADF = 90^{\circ}$，$AB = AD = CD$.
∵$DE = CF$，
∴$AE = DF$.
在$\triangle BAE$和$\triangle ADF$中，
$AB = DA$，$\angle BAE = \angle ADF$，$AE = DF$，
∴$\triangle BAE \cong \triangle ADF (SAS)$，
∴$BE = AF$.

10. 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC$ 的垂直平分线 $DE$ 交 $BC$ 于点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$，$E$ 恰好为 $AB$ 的中点，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，且 $EF = AC$.
(1) 当 $\angle B$ 的大小满足什么条件时，四边形 $ACEF$ 是菱形？
(2) 四边形 $ACEF$ 有可能是正方形吗？为什么？

答案： 解：
(1)当$\angle B = 30^{\circ}$时，四边形 $ACEF$ 是菱形.理由如下：
∵$DE$ 垂直平分 $BC$，
∴$\angle FDC = 90^{\circ}$.
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$FD // AC$.
∵$EF = AC$，
∴四边形 $ACEF$ 是平行四边形.
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$E$ 为 $AB$ 的中点，
∴$AC = CE = \frac{1}{2} AB$，
∴四边形 $ACEF$ 是菱形.
(2)四边形 $ACEF$ 不可能是正方形.理由如下：
∵$E$ 是 $AB$ 的中点，
∴$CE$ 在$\triangle ABC$的内部，
∴$\angle ACE ＜ \angle ACB = 90^{\circ}$，
∴四边形 $ACEF$ 不可能是正方形.